[SPAM] Re: [obm-l] Combinatória - album de figurinhas...

[Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx>]

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Ola' Henrique e colegas da lista, vamos 'as explicacoes!
   
  Chamei de "N" o numero de figurinhas do album, todas diferentes entre si, que e' a mesma variedade de figurinhas do nosso universo.
   
  Chamei de "V" o numero de posicoes vagas no album em um determinado momento. E' o mesmo que a quantidade de figurinhas que faltam para completarmos o album.
   
  Consideramos que as figurinhas sao equiprovaveis, ou seja, as figurinhas que ja' compramos nao afetam a probabilidade de obtermos uma determinada figurinha.
     
Essa probabilidade e' igual a 1/N, e permanece assim o tempo inteiro.
   
  A probabilidade de conseguirmos exatamente uma figurinha que se encaixe em alguma das posicoes vagas (repare que nao estou especificando qual a posicao exata) sera' justamente a soma das probabilidades de cada uma, ou seja,

   V*1/N = V/N.
    
  E entao, apos, conseguirmos essa tal figurinha, havera' (V-1) posicoes a serem preenchidas. Neste ponto, a probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe no album passa a ser
  (V-1)/N , e assim por diante.
   
  Observe que estamos calculando a quantidade media de figurinhas para conseguirmos colar a 1a figunha no album (que nao tem relacao alguma com a figurinha da posicao numero 1 do album).
   
  Em seguida, queremos a quantidade de figurinhas para conseguirmos colar a 2a figurinha no album, e assim por diante.
   
  Obviamente e' muito mais facil colar a 1a figurinha no album (quando existem N posicoes vagas, e qualquer figurinha serve) do que colar a ultima figurinha no album (quando havera' apenas uma posicao vaga).
   
  
Se faltou alguma coisa, pode sinalizar!
   
   Abracos a todos,
  Rogerio  Ponce
   
  -----------------------
  
Henrique Rennó
  Sun, 14 Oct 2007 10:58:58 -0700
  > Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a
  > probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.
  Esse N seria o número total de figurinhas do álbum?
  V seria quantas ainda faltam?
  A probabilidade de conseguirmos figurinhas para as V posições não seria o somatório das probabilidades de conseguirmos uma figurinha para a posição v1, para v2, ..., para vV ?
  E essas probabilidades não dependem das quantidades dessas figurinhas faltantes que ainda estão à venda?
  -- 
  Henrique
  
------------------


Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx> escreveu: Ola' pessoal,
uma das formas de se resolver seria calcular o resultado atraves da ponderacao do total das figurinhas necessarias para completar o album inteiro, isto e', o somatorio de "k" figurinhas multiplicado pela probabilidade de se completar o album com exatamente "k" figurinhas, quando "k" varia de N ao infinito (para "k" abaixo de N, a probabilidade de se completar o album vale zero).
  
Portanto a media vale
SOMATORIO k=[N,oo] { k * Prob_completar_album(N,k) }

Entretanto, o calculo de "Prob_completar_album(N,k)", isto e', a probabilidade de se completar um album de N posicoes com exatamente k figurinhas (de um universo de N figurinhas) me pareceu muito enrolado, e acabei tomando um caminho mais simples.

Basta percebermos que a media das figurinhas necessarias para completarmos o album vale o mesmo que a soma das medias das figurinhas necessarias para ocuparmos cada uma das N posicoes do album.

  
E quanto vale cada  uma dessas parcelas?


  Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.Isto significa que, na media, a cada N figurinhas compradas, V figurinhas poderiam ser encaixadas nas posicoes vagas (nao necessariamente em vagas distintas!).Dividindo isso por V, significa que, na media, precisamos comprar N/V figurinhas para conseguirmos um encaixe quando houver V posicoes vagas.


  Assim, na media, precisaremos comprar:
 N/N figurinhas para conseguirmos colar a 1a. figurinha no album
 N/(N-1) figurinhas para conseguirmos colar a 2a. figurinha no album
e assim sucessivamente, ou seja, na media serao necessarias
 N*[1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N] figurinhas.

Abracos a todos,
Rogerio Ponce


Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx> escreveu:
   Oi, gente,

Considere uma revista de "figurinhas" com N figurinhas distintas. Qual 
o número médio de figurinhas que se deve comprar para "completar" o 
álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a uma).

Nehab

PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele...



 
       Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 
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<div id="yiv542506591"><font size="2"><div>Ola' Henrique e colegas da lista, vamos 'as explicacoes!</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Chamei de "N" o numero de figurinhas do album, todas diferentes entre si, que e' a mesma variedade de figurinhas do nosso universo.</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Chamei de "V" o numero de posicoes vagas no album em um determinado momento. E' o mesmo que a quantidade de figurinhas que faltam para completarmos o album.</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Consideramos que as figurinhas sao equiprovaveis, ou seja, as figurinhas que ja' compramos nao afetam a probabilidade de obtermos uma determinada figurinha.</div>    <div>&nbsp;<br>Essa probabilidade e' igual a 1/N, e permanece assim o tempo inteiro.</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>A probabilidade de conseguirmos exatamente uma figurinha que se encaixe em alguma das posicoes vagas (repare que nao estou especificando qual a posicao exata) sera' justamente a soma das probabilidades de cada uma, ou
 seja,<br></div>   <div>V*1/N = V/N.</div>   <div>&nbsp;</div>  <div>E entao, apos, conseguirmos essa tal figurinha, havera' (V-1) posicoes a serem preenchidas. Neste ponto, a probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe no album passa a ser</div>  <div>(V-1)/N , e assim por diante.</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Observe que estamos calculando a quantidade media de figurinhas para conseguirmos colar a 1a figunha no album (que nao tem relacao alguma com a figurinha da posicao numero 1 do album).</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Em seguida, queremos a quantidade de figurinhas para conseguirmos colar a 2a figurinha no album, e assim por diante.</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>Obviamente e' muito mais facil colar a 1a figurinha no album (quando existem N posicoes vagas, e qualquer figurinha serve) do que colar a ultima figurinha no album (quando havera' apenas uma posicao vaga).</div>  <div>&nbsp;</div>  <div><br>Se faltou alguma coisa, pode sinalizar!</div> 
 <div>&nbsp;</div>   <div>Abracos a todos,</div>  <div>Rogerio  Ponce</div>  <div>&nbsp;</div>  <div>-----------------------</div>  <div><br>Henrique Rennó</div>  <div>Sun, 14 Oct 2007 10:58:58 -0700</div>  <div>&gt; Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a</div>  <div>&gt; probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.</div>  <div>Esse N seria o número total de figurinhas do álbum?</div>  <div>V seria quantas ainda faltam?</div>  <div>A probabilidade de conseguirmos figurinhas para as V posições não seria o somatório das probabilidades de conseguirmos uma figurinha para a posição v1, para v2, ..., para vV ?</div>  <div>E essas probabilidades não dependem das quantidades dessas figurinhas faltantes que ainda estão à venda?</div>  <div>-- </div>  <div>Henrique</div>  <div><br>------------------<br><br></div></font><b><i>Rogerio Ponce &lt;rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx&gt;</i></b> escreveu:<blockquote class="replbq"
 style="border-left: 2px solid rgb(16, 16, 255); margin-left: 5px; padding-left: 5px;"> <div>Ola' pessoal,<br>uma das formas de se resolver seria calcular o resultado atraves da ponderacao do total das figurinhas necessarias para completar o album inteiro, isto e', o somatorio de "k" figurinhas multiplicado pela probabilidade de se completar o album com exatamente "k" figurinhas, quando "k" varia de N ao infinito (para "k" abaixo de N, a probabilidade de se completar o album vale zero).</div>  <div><br>Portanto a media vale<br>SOMATORIO k=[N,oo] { k * Prob_completar_album(N,k) }<br><br>Entretanto, o calculo de "Prob_completar_album(N,k)", isto e', a probabilidade de se completar um album de N posicoes com exatamente k figurinhas (de um universo de N figurinhas) me pareceu muito enrolado, e acabei tomando um caminho mais simples.<br><br>Basta percebermos que a media das figurinhas necessarias para completarmos o album vale o mesmo que a soma das medias das figurinhas
 necessarias para ocuparmos cada uma das N posicoes do album.<br></div>  <div><br>E quanto vale cada  uma dessas parcelas?<br><br></div>  <div>Ora, quando ha' V posicoes vagas num total de N posicoes possiveis, a probabilidade de conseguirmos uma figurinha que se encaixe e' V/N.Isto significa que, na media, a cada N figurinhas compradas, V figurinhas poderiam ser encaixadas nas posicoes vagas (nao necessariamente em vagas distintas!).Dividindo isso por V, significa que, na media, precisamos comprar N/V figurinhas para conseguirmos um encaixe quando houver V posicoes vagas.<br><br></div>  <div>Assim, na media, precisaremos comprar:<br>&nbsp;N/N figurinhas para conseguirmos colar a 1a. figurinha no album<br>&nbsp;N/(N-1) figurinhas para conseguirmos colar a 2a. figurinha no album<br>e assim sucessivamente, ou seja, na media serao necessarias<br>&nbsp;N*[1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N] figurinhas.<br><br>Abracos a todos,<br>Rogerio Ponce<br><br><br><b><i>Carlos Nehab
 &lt;nehab@xxxxxxxxxxxxxxx&gt;</i></b> escreveu:</div>   <blockquote class="replbq" style="border-left: 2px solid rgb(16, 16, 255); padding-left: 5px; margin-left: 5px;">Oi, gente,<br><br>Considere uma revista de "figurinhas" com N figurinhas distintas. Qual <br>o número médio de figurinhas que se deve comprar para "completar" o <br>álbum? Imaginem que as figurinhas são compradas unitariamente (uma a uma).<br><br>Nehab<br><br>PS: Quem sabe o Palmerim bota na coleção dele...<br><br><br></blockquote></blockquote></div> <p>&#32;


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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