[obm-l] Existencia de irracinais a e b tais que a^b seja racional

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Existem, efetivamente, irrracionais a> 0 e b > 0 tais que a^b seja racional. Eu tentei uma prova por cardinalidade, mas não concluí. Uma forma que me ocorreu de provarmos este fato, mas que não me parece muito boa, é a seguinte:

Se n eh um inteiro positivo que nao seja um quadrado perfeito, entao raiz(n) eh irracional. Se (raiz(n))^(raiz(2)) for racional, facamos a = raiz(n) e b = raiz(2). Assim, a e b sao irracionais tais que a^b eh racional. Se, entretanto, (raiz(n))^(raiz(2)) for irracional, entao, fazendo-se a = (raiz(n))^(raiz(2))e b = raiz(2), temos que a e b sao irracionais tais que a^b = [(raiz(n))^(raiz(2)]^(raiz(2)= (raiz(n)^2 = n, de modo que a^b eh inteiro, logo racional. 

Assim, para cada inteiro positivo que nao seja quadrado perfeito, sempre podemos associar irracionais a e b tais que a^b seja racional. Pela construcao feita, a diferentes inteiros n nao quadrados perfeitos correspondem diferentes valores de a, embora sempre tenhamos b = raiz(2). Dado que hah uma infinidade de inteiros positivos que nao sao quadrados perfeitos, concluimos que hah uma infinidade der pares (a, b) conforme desejado. 

Mas esta prova eh muito restrita, o conjunto dos pares (a,b) que satisfazem ao desejado nao deve ser enumeravel

Artur   

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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