|
Este é legal....
No item (a) basta notar que o político ficaria no
baricentro de um triângulo equilátero de lado 2m. Lembrando que o segmento que
vai de um dos vértices de um triângulo até o baricentro é 2/3 da mediana ,
que num triângulo equilátero o comprimento da mediana coincide com o da altura e
que a medida da altura de um triângulo equilátero de lado x é x.srqt(3)/2 segue
que que neste caso a distância do político até cada um dos seus seguranças era
de (2/3).2.srqt(3)/2=2.srqt(3)/3 m.
Agora o (b)....
Talvez seja melhor usar um sistema de coordedadas
veja:
Imagine um quadrado com um dos vértices na origem
O= (0,0). Agora suponha que o político esteja no ponto P = (a,b). Como a
distância do político a um dos seus seguranças é 1, sem perda de generadidade
podemos supor que seja o segurença que está no ponto O=(0,0). Assim temos que
a^2+b^2=1 (pitátoras ou pela fórmula da distância entre dois
pontos).
Suponhamos agora dois outros seguranças, um no
vértice Q=(c,0) e outro no vértice R=(c,c) (faça uma figura para acompanhar).
Vamos agora imaginar que a distância entre o político P=(a,b) e o segurança em
Q=(c,0) seja igual a 4 e portando a distância do político P=(a,b) ao
segurança R=(c,c) igual a 5. Isto implica nas seguintes igualdades:
d(P,Q)=4 ==> (c-a)^2 + b^2 =
16
d(P,R)=5 ==> (c-a)^2 + (c-b)^2 =
25
Obs.
( na verdade a distância do político ao outro
segurança do ponto R=(c,c) não pode ser igual a 4, visto que se marcarmos
um ponto no interior de um quadrado e ligarmos este ponto a cada um dos vértices
do quadrado pode-se mostrar que a soma dos quadrados das distâncias que ligam
vértices opostos é constante. Assim os segmentos de tamanho 4 e 5 não podem
ligar vértices opostos pois teríamos 1^2 + 4^2 = 5^2 +d^2 ==> d < 0
o que seria impossível!)
temos então que resolver o seguinte
sistema:
a^2+b^2=1
(c-a)^2 + b^2 = 16
(c-a)^2 + (c-b)^2 = 25
na verdade basta achar o c que é justamente a
medida do lado do quadrado
façamos o seguinte: primeiro vamos subtarir a 3a eq
da 2a equação: (c-b)^2 - b^2 = 9 ==> b =
[c^2-9]/2c
agora vamos desenvolver um pouco a 2a
equação:
(c-a)^2 + b^2 = 16 ==> c^2 - 2ac + a^2 +
b^2 = 16 , mas a^2+b^2=1 ==> c^2 - 2ac +1 = 16 ==>
c^2 -2ac = 15 ==> a=[c^2 - 15]/ 2c
agora substituindo b = [c^2-9]/2c e
a=[c^2 - 15]/ 2c em a^2+b^2=1
obtemos:
[(c^2 - 15)/ 2c]^2 + [(c^2-9)/2c]^2 = 1 ==>
(c^2-15)^2 + (c^2-9)^2 = 4c^2
fazendo a troca de variável c^2 = x temos:
(x-15)^2 + (x-9)^2 = 4x ==>
x^2-30x+225 + x^2-18x+81 - 4x = 0 ==>
2x^2 - 52x+306=0 ==>
x' = 9 ou x'' =17
mas ocorre que c^2 = x, asim temos que c^2 = 9 ==> c=3 , pois
c>0
como b = [c^2-9]/2c e a=[c^2 - 15]/ 2c neste caso
teríamos que b = 0 e a = - 1 , o que é impossível neste caso pois devemos ter
a>0
Assim concluímos que
se x= 17 temos c^2 = 17 o que implicaria c=sqrt(17) e
portanto b=4/sqrt(17) e a=1/sqrt(17) o que é plenamente possível.
finalmente como c é a medida do lado do quadrado segue que a sua área mede
c^2 que é igual a 17.
valew,
Cgomes
----- Original Message -----
Sent: Friday, September 28, 2007 2:57
PM
Subject: [obm-l] SEGURANÇAS
ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTE PROBLEMINHA
CASCUDO:
Um político contrata quatro seguranças para poder
participar de um showmício de seu partido. Os seguranças localizam-se nos
vértices de um quadrado. Sabe-se que três deles estão a 1, 4 e 5 m de seu patrão e sempre mantém esta
configuração. De posse dessas informações, resolva:
a) Numa emergência em que um dos seguranças fosse
atingido por uma bala, os outros deveriam constituir um formato de um
triângulo eqüilátero de lado 2
cm, onde o político localizar-se-ia em seu
centro. Calcular a distância, em
cm, do político aos seguranças nesta ocasião. Despreze a parte
fracionária do resultado, caso exista.
b)
Calcular em m2, a
área do quadrado. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
|