Re: [obm-l] numeração

["Kleber Bastos" <kleber09@xxxxxxxxx>]

Olá Foi de inteira ajuda.

Só que na questão ele pede todos os números nautrais menos que 10^n, o 0 não conta , ou seja de 0 a 9 = 10 números .. seria só somar 1 na fórmula final ?

 

Eu estava com dificuldade nesse problema , pois eu não estava achando uma fórmula de recorrencia , pois eu estava considerando 11, 22 ,333 ( o 11 só como feito somente por um símbolo o 1 , o 22 somente pelo 2 , o 333 somente pelo 3 ...

 

Em 12/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx> escreveu:

Oi, Kleber,

Se eu entendí o que você perguntou você quer saber a quantidade total de símbolos usados para escrever de 1 até 10^n -1 , é isto?

Por exemplo (se eu entendi...), para escrever de 1 a 99 no nosso sistema decimal usual, é necessario usar 9 símbolos para os números de (1 a 9), mais 180 símbolos para escrever de 10 a 99 (que corresponde a 2 simbolos para cada um dos 90 números), etc:

Se minha interpretação esta correta, vamos lá:

-  Decimal usual
Qde = (10 - 1) + 2* (100 - 10) + 3 * (1000 - 100) + ... + n [10^n - 10^(n-1) ]
Qde = n.10^n - [ 1 + 10 + 100 + 1000 + ...+ 10^(n-1) ]    (note a PG)
Qde = n.10^n - (10^n - 1)/9

Egípcio 
Suponha, por exemplo, que você escreveu os números de 1 a 99 e que usou até ai X símbolos.  Para escrever os números de 101 a 999 precisamos "unir"  as escritas destes 99 números números com:
- 1 símbolo de 'centena' para escrever os números de 101 a 199 (falta o 100);
- 2 símbolos de 'centena' para escrever os números de 201 a 299 (falta o 200);
- 3 símbolos de 'centena' para escrever os números de 301 a 399 (falta o 300)...
...
- 9 símbolos de 'centena' para escrever os números de 901 a 999;

Mas ficaram faltando o 100, 200, ... e o 900, o que exige um total (1+2+...+9) símbolos de centena, ou seja, 45 símbolos a mais.

Então, no total, para escrevermos os números de 100 a 999 usamos  9X + 45 símbolos !

De uma maneira geral (perceba que o raciocínio anterior se mantém), chamando de Q(n) a quantidade de símbolos para escrever os numeros de 1 a 10^n - 1 usaremos 9 vezes esta quantidade para completar a escrita de 10^n até  10^(n+1) -1 acrescidos de 1+2+3+...+9 = 45 símbolos. 
Assim:
Q(n+1) = Q(n) + 9 Q(n) + 45 , ou seja, Q(n+1) = 10.Q(n) + 45 e obviamente Q(1) =  45  (1 pauzinho mais 2 pauzinhos, etc)

Esta recorrência é clássica (uma progressão aritmética-geométrica).  Logo,  Q(n) = 5(10^n - 1)

Espero não ter me distraído... 

Abraços,
Nehab

PS: Possivelmente para o caso egípcio n é no maximo 6 pois não conheço símbolo maior que 1 milhão neste sistema de numeração.

At 12:00 12/9/2007, you wrote:

Considere o sistema de numeração por agrupamento aditivo egípicio e o sistema de numeração decimal indo-arábico.
 
Para cada n pertencente aos naturais, determine expressões para as quantidades de símbolos necessários para expressar todos os números naturais menores que 10^n em cada um dos sistemas.

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Kleber B. Bastos

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Kleber B. Bastos