[obm-l] R >= 2r por geometria...

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Ao colega 'perdido',

Não consegui localizar quem havia solicitado, há pouco tempo, uma 
demonstração 'puramente geomérica' que o raio do círculo circunscrito 
a um triângulo é maior ou igual ao diâmetro do circulo inscrito (na 
verdade a iguladade só vale no equilátero).

Confesso que havia pensado no problema mas, ai vai a historinha...:

- Primeiro pensei como seria em um triângulo retângulo: trivial, pois 
o triângulo retângulo está contido na 'metade' de seu círculo 
circunscrito e, então, seu círculo inscrito está inteiramente contido 
no semicírculo circunscrito.  Logo, R >= 2r e note que o mesmo 
raciocínio também vale para um triângulo obtusângulo.

- Então fiquei "ralando' nos triângulos acutângulos...  Pensei: uma 
boa idéia seria tentar dobrar o triângulo original (suponha-o ABC), 
pois ai eu teria um triângulo com raio inscrito igual a 2r.  Traçando 
paralelas aos lados pelos vértices ABC seria uma boa forma de 
'dobrá-lo'  (chame tal triângulo de A'B'C').    Ai, olhei, olhei e 
não vi.  Faltou o pulo do gato e 'encostei o problema'....

Esta semana, absolutamente por acaso, folheando o Lidski, lá estava o 
maldito problema (359) e o pulo do gato também.
Para quem não tem  Lidski ai vai o pulo do gato (apenas): construa um 
triângulo "paralelo" a A'B'C' com lados tangentes ao círculo 
circunscrito do triângulo original ABC (chame-o de A"B"C") e olhe, 
olhe, e olhe, que você vê que o A'B'C' está contido em A'B"C"e então 
seu círculo circunscrito é menor ou igual a R, que por sua vez, é 
menor ou igual a 2r...

Abraços,
Nehab

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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