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Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos
Oi Carlos!
Estava ficando maluco com esse exercício! As coisas que mais "pegam"
são quando transformamos a sentença que está na forma de conjunto para
enunciar a propriedade (nesse contexto as diferenças simétricas
parecem magicamente transformar-se em uniões e vice-versa rs, sem
contar que perdi o "se e somente se" no processo). Nesse caso em
específico, não estava muito claro quando eu deveria usar a inversa (e
consequentemente a definição de injetora).
O método que você utilizou para a prova é muito parecido com o que o
Kolmogorov usa (e é o que terei que pegar prática), muito obrigado!
Tentarei conduzir as demais prova nesse esboço!
O que tentei fazer, ao contrário da sua prova, foi, saindo da
definição, fazer as manipulações e provar que uma era equivalente a
outra (no que não fui bem sucedido), mas agora realmente parece que é
mais simples considerar z pertencente a M e provar que ele cai em N
(do que ir manipulando as definições, partindo de M, até chegar a N).
Agradeço novamente,
Abraços,
Renan
Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<nehab@infolink.com.br> escreveu:
>
> Oi, Renan,
> (ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse geral)
>
> Você está certo. Na verdade você provou apenas que f(A inter B) <= f(A)
> inter f(B) (está contido)
>
> Eis o que você escreveu:
>
>
> {f(x): x pertence (A inter B)} <-> {f(x): x pertence A e x pertence B}.
> Aqui, você está no contexto do "se e somente se". Está perfeito. Mas
> quando você coloca "se x pertence a A, etc"
> você não está mais no "se e somente se"...
>
> Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):
>
> Quero provar que f(A inter B) <= f(A) inter f(B). Então provemos que:
> a) f(A inter B) <= f(A) inter f(B)
> b) f(A) inter f(B) <= f(A inter B)
>
> Para provar a) vejamos (foi o que você fez):
>
> Seja y em f(A inter B); então há x em (A inter B) tal que f(x) = y
> Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que x está em A e x está em
> B;
> Logo, y = f(x) está em f(A) e y = f(x) está em f(B); logo este mesmo y
> está em na interseção, ou seja, f(A) inter f(B). Isto você provou, como
> está escrito abaixo (mas acho que começando um pouco pelo meio, pois se
> você quer provar que M <= N forçosamente comece assim: seja z em M.... até
> chegar a z em N; e você começou assumindo um x em A, que não está
> diretamente ligado ao que você quer provar - deu para entender?):
>
>
> se x pertence a A, f(x) pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence
> a f(B), dessa forma
> f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
> Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter f(B) tal y
> está em f(A inter B), pois, veja (item b) :
>
> Seja y em f(A) inter f(B); logo, y está em f(A) e em f(B) (pois está na
> interseção dos conjuntos, logo está em cada um deles); mas se y está em
> f(A) há algum sujeito em A, chamemo-lo de x1 tal que f(x1) = y; e se y
> está em f(B) há algum cara em B (chamemo-lo de x2) tal que f(x2) = y.
> Então você tem um cara x1 em A e um cara x2 em B e pronto (e mais nada).
> Mas se x1 e x2 forem o mesmo cara, então de fato você teria um x=x1=x2 em A
> inter B e então haveria um x em A inter B tal que f(x) = y ou seja, tal y
> estaria (como desejamos) em f(A inter B).
>
> E é fácil ver que se f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais e isto
> fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para justificar a
> igualdade dos conjuntos).
>
> Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando fui
> aluno do Prof. Barbosa no IME (ih.... em 1969 e 70) e ele nos enlouquecia
> com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época achavam um saco.
> Ledo engano. Foram estes exercícios que certamente nos deram a clareza que
> hoje minha "tchurma" tem no que poderíamos chamar de "prática de lógica e de
> teoria dos conjuntos básicos").
>
> Abração
> Nehab
>
> PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?
>
>
> At 21:31 23/8/2007, you wrote:
>
> Olá a todos!
>
> Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
> (Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
> Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
>
> Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
>
> f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
>
> Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
>
> Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
> não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
> uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
> união B).
>
> Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
> {f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
> pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
> f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
>
> Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
> consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
> f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
> me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
> inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
>
>
> Agradeço qualquer ajuda,
> Abraços,
> J. Renan
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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