[obm-l] Imagem da união de dois conjuntos

["Jonas Renan Moreira Gomes" <jrenan.obm@xxxxxxxxx>]

Olá a todos!

Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).

Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:

f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.

Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.

Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).

Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)

Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?


Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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