Re: [obm-l] Álgebra Linear

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Poxa, André

Ninguém deu bola pra você ....

Tentarei o primeiro... 

Exercício 1 
> Sejam X e Y espaços vetoriais
> com a mesma dimensão finita. Suponha que, para as aplicações lineares
> T:X-->Y e S:Y-->X, seja verdadeiro ST = I, a identidade em X.
> Mostre que S = T^-1 .

Estratégia: A questão na verdade se resume a provar que T é bijetora,
pois se uma função T bijetora (independente de ser função linear ou não)
é tal que existe S com ST= I,  tal S é necessariamente sua inversa
(ou seja, sua inversa à esquerda S é também sua inversa à direita).

a) T é injetora: dados x1 e x2 de X, devemos mostrar T(x1) = T(x2)
implica x1 = x2.  Mas como S é função, S(T(x1)) = S(T(x2)); como a
composta é a identidade, S(T(x1))  = x1 e S(T(x2)) = x2; logo, 
x1 = x2.

b) T é sobrejetora
Seja u e v vetores linearmente independentes em X.  Então, se
mostrarmos que T(u) e T(v) são linearmente independentes em Y será
imediato que a imagem de uma base em X é uma base em Y (pois T é injetora
e as dimensões de X e Y são iguais e finitas). 
Seja T(u) = u'  e T(v) = v'.     Para mostrar
que  u'e v' são linearmente independentes basta mostrar que se 
a.u'+ b.v'= 0  (onde a e b são escalares e 0 o vetor nulo) 
necessariamente a=b=0.  Mas a.u'+b.v' = aT(u) +b T(v) = T(au+bv)
(pois T é linear).  Mas se T(au+bv) = 0 = T(0), como T é injetora,
au+bv=0 e como u e v são li,  a=b=0.
  
Agora imagine  u1,u2,...uk uma base de X; como T(uk) é base em Y
podemos expressar qualquer y de Y como combinação linear de T(uk):
a1T(u1)+a2T(u2)+...+anT(un), por exemplo.  Mas é imediato perceber
que a imagem do vetor a1.u1+a2.u2+...an.un é exatamente y...  
.
Deixo como exercício para você mostrar a afirmativa contida na
"estrategia", pois a "parte" que depende de
"álgebra linear" está feita...

Quanto ao exercício 2 mais tarde darei uma pensada, mas espero que alguém
poste logo solução ... pois ainda ando enferrujado...

Abraços,
Nehab

PS: espero não haver deslizes no texto acima...:-)

 
At 13:05 11/8/2007, you wrote:
> Olá pessoal, dêem uma ajuda
> nesses problemas abaixo. O primeiro parece óbvio demais, mas o que usar
> para demonstrar este resultado simples? O segundo já é de dificuldade um
> pouco maior.
>
> Abraços,
>
>
> 1 - Sejam X e Y espaços vetoriais com a mesma dimensão finita. Suponha
> que, para as aplicações lineares T:X-->Y e S:Y-->X, seja verdadeiro
> ST = I, a identidade em X. Mostre que S = T^-1 .
>
> -----------------------
>
> 2 - Sejam X um espaço vetorial real de dimensão finita e B uma base de X.
> Seja também T:XxX-->R uma forma bilinear. Mostre que existe uma matriz
> A tal que 
>
> T(h, k) = [k]_B^t A [h]_B
>
> Se X for um espaço com produto interno, mostre que existe uma aplicação
> linear S:X-->X tal que A é a representação se S^t na base ortongonal
> B. Mostre que B é simétrica se, e somente se, A for simétrica.
>
> -----------------------
>
>
> -- 
> André Rodrigues da Cruz