Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros

["Leonnardo Rabello" <leonnardo@xxxxxxxxx>]

Eu ia explicar até esse negócio da congruencia, mas dps vi q tava dando congru 2 mod 3, achei que minhas contas tavam erradas, mas valeu Mauricio por ter postado aí que dá congru 2 mesmo.

Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> escreveu:

Desculpe-me: engoli uma palavra no texto: Se você "quiser" ver...

Oi, Klaus,

Se você ver a utilidade do referido "produto notável"

(a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2
= (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab)

dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues :

"Simplifique X = P/Q, onde

P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)  e
Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)."

Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual.

Abraços,
Nehab


 
At 10:09 30/7/2007, you wrote:

Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain.

----- Mensagem original ----
De: "silverratio@gmail.com" < silverratio@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11
Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros

Olá Klaus,

Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain:

a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab).

Trabalhando com a sua expressão,

545^4 + 4^545  =  545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4,

para a = 545 e b = 4^136.

Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1;

mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 > 2ab, pois a e b são diferentes de zero,

e assim sobra um b^2 dentro de cada um.

Abraço,

- Leandro A. L.


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