Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Klaus,

Se você ver a utilidade do referido "produto notável" 

(a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2
= (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) 

dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof.
Felipe Rodrigues :

"Simplifique X = P/Q, onde

P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) 
e
Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 +
324)."

Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não
consigo localizar em qual.

Abraços,
Nehab


 
At 10:09 30/7/2007, you wrote:
> Valeu Leandro. Eu nunca tinha
> ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain.
>
> ----- Mensagem original ----
> De: "silverratio@gmail.com" <silverratio@gmail.com>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11
> Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros
>
> Olá Klaus,
>
> Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie
> Germain:
>
> a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab).
>
> Trabalhando com a sua expressão,
>
> 545^4 + 4^545  =  545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou
> seja, a^4 + 4*b^4,
>
> para a = 545 e b = 4^136.
>
> Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1;
>
> mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 > 2ab, pois a e b
> são diferentes de zero,
>
> e assim sobra um b^2 dentro de cada um.
>
> Abraço,
>
> - Leandro A. L.
>
>
> Alertas do Yahoo! Mail em seu celular.
> Saiba mais.