[obm-l] RES: [obm-l] função lipschitz

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Suponhamos que f' seja limitada e derivável e I. Seja S = supremo {|f'(u)| | x esta em I}. Então, para todo u de I temos que |f'(u)| <= S. 

Sejam x e y elementos distintos de I. A aplicação do teorema do valor médio ao intervallo fechado de pontos extremos x e y mostra a existencia de um a entre x e y tal que |f(y) - f(x)| = f'(a)|  |y - x| |<=  S |y - x| , do que concluimos que f eh Lipscitz em I com constante S.

 

Suponhamos agora que f seja derivável e Lipschitz em I. Existe, então, uma consstante positiva S tal que |f(y) - f(x| <= S |y - x| para todos x e y de I. Se x e y forem distintos, então |f(y) - f(x)|/(y - x)| <= S. Fazendo-se y -> x e considerando que f eh derivavel em I, o primeiro membro desta desigualdade tende a |f'(x|. Como esta desigualdade vale no limite, temos que |f'(x| <= S, validfa para todo x de S. Logo, f' é limitada em I por S.   

 

Observe que o seu enunciado esta impreciso, a hipotese de que f seja derivavel em I deveria fazer parte das hipoteses. O fato de uma funcao ser Lipschitz noa implica que seja derivavel.

 

Deixo para vc um outro exercicio interessante. Mostre que a constante S = supremo {|f''(u)| | x esta em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em I, isto eh, se 0 < C < S, entao existem x e y em I tais que |f(y) - f(x) > C |y - x|.

 

 

[Artur Costa Steiner] 

 

 

 ensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada em: sexta-feira, 27 de julho de 2007 21:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] função lipschitz

Poderiam me ajudar ?

 

Mostre que f :I-->R, onde I C R  é um intervalo é uma função Lipschitz se , e smomente se f ´ ( f linha )  é uma função limitada em I .

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Kleber B. Bastos