Re: [obm-l] Duvida questão sobre supremo

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, Kleber. Vou admitir que vc quis dizer: Seja A = {r pertence Q / r < a, onde a é real}. Mostre que sup A = a. É isso?

Se for, precisamos mostrar que:

1) Para todo x em A, x <= a (a é cota superior de A)

2) Se c >= x para todo x em A então c >= a. (a é a menor das cotas superiores de A).

 

A parte (1) é evidente, pela definição do conjunto A.

Para a parte (2), podemos fazer por absurdo. Queremos provar que "c >= x para todo x em A"  ==>  "c >= a". Seja então c >= x para todo x em A e suponha que c < a. Sendo c < a, o intervalo (c, a) é não vazio, e como Q é denso em R, existe um racional q, c < q < a. Esse racional pertence então a A. Assim a suposição c < a nos leva a conclusão de que c não é tal que c >= x para todo x em A, já que encontramos um q em A maior do que c, o que nos leva a um absurdo. Assim, está errado supor c < a, e portanto c >= a, cqd.

 

Abraço

Bruno
 

2007/7/28, Kleber Bastos <kleber09@gmail.com>:

Seja A= { r pertence Q / r < 0 }. Mostre que Sup=a.

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Kleber B. Bastos

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Bruno França dos Reis
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