Re: [obm-l] demonstrar

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Vitorio,

sqrt(x) + m = x ...
sqrt(x) = x - m

elevando ao quadrado, ficamos com:
x = x^2 - 2xm + m^2
mas, em sqrt(x) = x - m, temos que ter x >= m ... e qdo elevamos ao
quadrado, x pode assumir quaisquer valores (que certamente vao
aparecer e devem ser descartados)..

x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0

digamos que f(x) = x^2 - (2m+1)x + m^2
veja que f(x) tem concavidade para cima, e que f(m) = m^2 - (2m+1)m +
m^2 = -(2m+1)
sabemos que 1*f(m) < 0, implica que m está entre as raizes.. logo,
temos apenas uma solucao (a direita de m) ... assim: f(m) < 0 ...
-(2m+1)<0 ... m > -1/2
assim, para m > -1/2 temos que sqrt(x)+m = x tem apenas uma solucao..

e para m <= -1/2 ?
vamos ver o delta de f(x)... (2m+1)^2 - 4m^2 = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 = 4m + 1
para raizes reais, delta >= 0 ... logo: 4m+1 >= 0 .. m > -1/4
opa.. entao para m <= -1/4, nao temos raizes reais... e -1/2 < -1/4

portanto, só existe solucao para m >= -1/4 ... esta solucao é unica... (cqd)
note que o exercicio diz x>0, pois qdo m=0, temos que x=0 é raiz..

da pra resolver tb usando um pouquinho de calculo e o fato de que x =
sqrt(x) tem apenas 2 solucoes (0 e 1)... e que x = sqrt(x) + m é
apenas uma translacao vertical de x = sqrt(x)..

abracos,
Salhab


On 7/18/07, vitoriogauss <vitoriogauss@uol.com.br> wrote:
>
> olá moçada....
>
> Eu tava lendo o livro do Elon voltado para ensino médio, quando encontrei a
> seguinte questão:
>
> sqrt[x]+2= x...ok...encontrei o resultado, porém fiquei intrigado quanto ao
> motivo da presença de raízes estranhas.
>
> depois me enrolei na sqrt[x]+3=x...ambos os resultados que encontrei valem,
> porém ele pede para demosntrar que sqrt[x]+m = x só tem um valor para
> m>0..ou seja, então eu errei ao encontrar dois resultados para
> sqrt[x]+3=x????????????????
>
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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