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[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Soh
que na realidade a série de Taylor de e^x eh a propria definicao de
e^x.
Para o
cos, a maneira talvez mais rigorosa, valida inclusive no plano complexo, eh
tambem considerar a definicao baseda em serie de potencias: cos(x) = 1 -
x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!.....a qual implica que o cosseno seja continua em R (em
C).
Outra
forma de ver isso, talvez mais trigonometrica, eh considerar a
identidade cos(x) - cos(y) = -2 sen((x +y/2)) sen((x -y/2)).
Para todos x e y de R, temos entao que | cos(x) - cos(y)| = 2 |sen((x +y/2)| |sen((x
-y/2))| <= 2 |sen((x -y/2))| . Mas sabemos que |sen u |
<= u para todo real u, de modo que | cos(x)
- cos(y)| <= 2 |(x-y)/2| = | x - y|. Isto nos mostra que cos
eh Lipschitz com constante 1, logo uniformemente continua, logo continua em todo
R.
A
desigualdade |sen (u)| <= u pode ser obtida geometricamente do circulo
unitario, desde que se aceite a Geometria Euclidiana. Ou entao, de forma talvez
mais rigorosa, considerando-se series de potencvia e o teorema do valor medio..
Artur
[Artur
Costa Steiner] -----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada
em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre
Limite
Valeu Marcelo ,
Eu havia pensado em fazer assim :
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 +
x^3/3! ... ( série de
> taylor em torno de x=0 , e dai por definição de
limites sobre série provar
> isso.
Mas sua solução é mais
adequada ...
abs.
Outra coisa , como eu provo que lim cos(x) = 1 quando x tende para
0 ??
agradeço a resposta .
Em 28/06/07, Marcelo
Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com> escreveu:
Olá,
um
possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe..
logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) =
f(0),
portanto: lim [x->0] e^x = 1
outro modo seria:
-delta < x
< delta.... e^(-delta) < e^x < e^(delta) ... e^(-delta)
-
1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ;
e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps
logo: para todo eps > 0,
existe um delta>0, tal que |x| < delta
implica que |e^x - 1| <
eps
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Kleber Bastos
<kleber09@gmail.com >
wrote:
> Como eu faço para provar a seguinte afirmativa
:
> lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero
.
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Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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