[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite



Soh que na realidade a série de Taylor de e^x eh a propria definicao de e^x.
 
Para o cos, a maneira talvez mais rigorosa, valida inclusive no plano complexo, eh tambem considerar a definicao baseda em serie de potencias: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!.....a qual implica que o cosseno seja continua em R (em C). 
 
Outra forma de ver isso, talvez mais trigonometrica, eh considerar a identidade cos(x)  - cos(y) = -2 sen((x +y/2)) sen((x -y/2)). Para todos x e y de R, temos entao que | cos(x)  - cos(y)| = 2 |sen((x +y/2)| |sen((x -y/2))|  <= 2  |sen((x -y/2))| . Mas sabemos que |sen u | <= u para todo real u, de modo que  | cos(x)  - cos(y)| <= 2 |(x-y)/2|  = | x - y|. Isto nos mostra que cos eh Lipschitz com constante 1, logo uniformemente continua, logo continua em todo R.
 
A desigualdade |sen (u)| <= u pode ser obtida geometricamente do circulo unitario, desde que se aceite a Geometria Euclidiana. Ou entao, de forma talvez mais rigorosa, considerando-se series de potencvia e o teorema do valor medio..
 
Artur 

[Artur Costa Steiner]  -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Kleber Bastos
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 12:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite

 Valeu Marcelo ,
 Eu havia pensado em fazer assim :
 
Eu pensei em usar a sequência e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3! ... ( série de
> taylor em torno de x=0 , e dai por definição de limites sobre série provar
> isso.

Mas sua solução é mais adequada ...
abs.
 
Outra coisa , como eu provo  que lim cos(x) = 1 quando x tende para 0 ??
 
agradeço a resposta .
 
Em 28/06/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com> escreveu:
Olá,

um possivel jeito é: f(x) = e^x ... f'(x) = e^x ... opa.. f'(0)
existe.. logo, f é continua no ponto 0.. deste modo: lim[x->0] f(x) =
f(0), portanto: lim [x->0] e^x = 1

outro modo seria:
-delta < x < delta.... e^(-delta) < e^x < e^(delta) ...  e^(-delta) -
1 < e^x - 1 < e^(delta) - 1
assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps
logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
implica que |e^x - 1| < eps

abracos,
Salhab



On 6/28/07, Kleber Bastos <kleber09@gmail.com > wrote:
>  Como eu faço para provar a seguinte afirmativa :
>  lim e^(x) = 1 , quando x tende para zero .

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================