Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

ralonso wrote:

> > Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n
>
> Olá Professor Nicolau.  Como você consegui enxergar que
>   p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ?  Suponho que você está
> considerando que p(n) = x^n e   x^3  = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) =
> x^3 + x^2 + x.   Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois
> x pode ser a, b ou c.  A confusão surge porque  x tem que ser o mesmo nos dois
> lados da equação.  Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor
> essa passagem.
>

Ah... tah... agora percebi:  troque x^n por a^n (já que a é raiz):
    a^(n+3) = a^(n+2) +a^(n+1) + a^n
ou por b_n:
   b^(n+3) = b^(n+2) +b^(n+1) + b^n
ou por c_n
   c^(n+3) = c^(n+2) +c^(n+1) + c^n
e some os três:

 p_(n+3) = a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3)
p_(n+2) = a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)
p_(n+1) = a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)
p_(n) = a^(n) + b^(n) + c^(n)

==>
p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n

logo chegamos a conclusão do professor Nicolau.
A questão das matrizes ainda não enxerguei...

[]s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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