Re: [obm-l] Dúvida

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0.
> Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz
> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n

Olá Professor Nicolau.  Como você consegui enxergar que
  p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ?  Suponho que você está
considerando que p(n) = x^n e   x^3  = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) =
x^3 + x^2 + x.   Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois
x pode ser a, b ou c.  A confusão surge porque  x tem que ser o mesmo nos dois
lados da equação.  Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor
essa passagem.


>
>        [35890     66012    121415]
> N^21 = [55403    101902    187427]
>        [66012    121415    223317]
>
> Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das
> matrizes anteriores.
>
> Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109
> (e chegamos na mesma resposta).
>

  Suponho que teorema da álgebra linear foi usado na passagem acima foi aquele
que diz que se o polinômio característico para matrix X satisfaz  p(X) = 0.
  Então X^3 =  X^2 + X + I.   O fato do polinômio poder ser obtido da
multiplicação dos anteriores tem a ver com o fato de podermos  multiplicar
os dois lados da equação matricial acima por X ou  uma potência de X:

    X^3 X = X^2 X + XX + X
    X^4 = X^3 +X^2 + X

  Pensei certo?  Também não entendi por que a soma a^n + b^n + c^n é
o traço da matrix X^n. Deve ter algo a ver com o fato da matriz poder
ser escrita como X = A^1 L A^(-1) onde L é a matriz de autovalores,
uma fórmula do tipo
X^n = A^n L ^n A^(-n)   deve valer e os termos devem ser cancelados
em uma multiplicação ... bom... preciso de uma explicação melhor aqui
também, pois "viajei" :)

   Gostaria de ter a sua velocidade de raciocínio  mas não consigo :)
Humildemente.
Ronaldo.

[]s a todos.




>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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