[obm-l] Teoria de medidas

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu já postei isso aqui , mas não obtive resposta. O problema eh o seguinte:

 

Seja (X, M u) um espaco de medidas, X um conjunto, M uma sigma-algebra definida em X e u uma medida definida em M. Seja f_n uma sequencia de funcoes em L+ (pela notacao usual, uma sequencia de funcoes mensuraveis definidas em X e com valores em [0, oo]) tal que lim f_n = f. Se lim Integral f_n du = Integral f du < oo, entao, para todo E de M, temos que lim Int_E f_n du = Int_E f du. (Conforme a convencao usual, quando o conjunto de integracao nao eh explicitado, subentende-se integral sobre to do o espaco X.) 

 

A prova deste teorema eh imediata se adicionarmos a hipotese de que a convergencia eh dominada por uma funcao integravel em X.  Mas o interessante eh que ele eh valido mesmo sem esta hipotese. Jah consegui provar isso, eh interessante. Entretanto, nao mais podemos garantir sua validade se  lim Integral f_n du = Integral f du =  oo, a finitude eh essencial. Aih e que esta minha duvida, nao consegui achar um exemplo, isto eh. Um espaco (X, M , u), uma sequencia de funcoes em L+ tal que  lim Integral f_n du = Integral f du =  oo e um membro E de M para o qual nao tenhamos que lim Int_E f_n du = Int_E f du. Ou porque o limite do primeiro membro nao existe, ou porque existe mas eh maior do que o segundo membro  (menor nunca pode ser, pelo Lema de Fatous).

 

Espero que alguem possa colaborar. Eh ate posivel que haja um exemplo bem simples.

Obrigado

Artur