Acho que este problema dá pra resolver aparentemente da mesma forma que aquele problema proposto pelo Rafael alguns dias atrás e que você havia mostrado uma solução transformando o problema em uma equação.
1) De quantos modos podemos escolher tres numeros, não necessariamente distintos, no conjunto {1,2,...,150} de modo que a soma dos numeros escolhidos seja divisivel por 3? E se os numeros fossem distintos?
Para que os três números somados seja um valor divisível por 3 a soma deve ser um número do conjunto M = {3, 6, 9, ..., 450}, ou seja, todos os múltiplos de 3 possíveis de serem formados através da soma de elementos do conjunto E = {1, 2, ..., 150} sendo o elemento mínimo 1+ 1+ 1 = 3 e o máximo 150 + 150 + 150 = 450.
O número de escolhas de 3 elementos de E que somados é 3 seria igual ao número de soluções inteiras positivas para a equação x + y + z = 3. Já que o x, y e z são inteiros positivos (tirados de E) existe apenas uma única solução, pois que teríamos que considerar pelo menos uma unidade para x, y e z, ou seja, 1+1+1 = 3 --> 0+0+0 = 0.
O número de possibilidades para que a soma seja 6 seria o número de soluções inteiras positivas para a equação x + y + z = 6. Novamente, cada termo x, y e z possui no mínimo uma unidade, logo o número de soluções para essa equação seria equivalente ao número de permutações com elementos repetidos de III++ (pois retirando três unidades garantimos que x, y e z são >= 1 já que são elementos de E). Então, para a soma ser igual a 6 existem 5!/(3!2!) = 10 possibilidades.
Seguimos o mesmo raciocínio para as somas 9, 12, 15, ..., 450.