[obm-l] RES: [obm-l] [obm-l] Equação Trigonométrica - Ajuda na solução

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho que podemos resolver por numeros complexos, utilizando a formula de Euler, que nos leva a que cos u = (e^(iu) + e(-iu)/2i. Assim, Soma (k =1, n) cos(kx)= Soma (k =1, n) (e^(inx) + e(-inx)/2i = 1/2i Soma (k =1, n)e^(inx) + e(-inx). Assim, temos a soma dos n primeiros termos de uma PG, a primeira com razao e^(ix), a segunda com razao e(-ix). Usando as conhecidas formulas da soma, chegamos a uma expressao fechada.

Estou sem tempo para desenvolver agora
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Marcus Vinicius Braz
Enviada em: quinta-feira, 31 de maio de 2007 15:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] [obm-l] Equação Trigonométrica - Ajuda na solução


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Resolver:

cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ... + cos(nx) = 1/2

n é inteiro positivo.
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Bem, consegui provar que:

cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ... + cos(nx) = Sn

2*Sn = [ sen{x*[(2*n+1)/2]} / sen(x/2) ] - 1

Travei a partir daí, ou seja, substituindo Sn = 1/2 na esquação acima.

Alguma alma brilhante com a famosa frase: "Experimente multiplicar ambos os 
lados por..." ????

Abraços

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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