[obm-l] Re: [obm-l] fórmula geral para a soma S

["Murilo RFL" <mrllima@xxxxxxxxxxxx>]

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Este eh um problema clássico.

é soh fazer:

1/1x2 = 1/1 - 1/2
1/2x3 = 1/2 - 1/3
1/3x4 = 1/3 -1/4
1/4x5 = 1/4 -1/5
 . . .
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)

somando tudo temos : 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

Espero ter ajudado. Os outros problemas ficam como desafios. Abraços
----- Original Message ----- 
From: "Tales Prates Correia" <tales1337@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM
Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S


>
> Olá integrantes da lista,
>
> Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês -
>
> o qual pedia para determinar a seguinte soma:
>
> S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)
>
> Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos:
>
> S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)
>
> S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)
>
> Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a 
> soma
>
> das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório:
>
> S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .
>
> onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma
>
> progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é
> diferente
>
> -A/q , com q natural não nulo.
>
> E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula:
>
> S = (n-1)/(A1)x(An)
>
> Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada.
>
> Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para 
> o
> mesmo problema.
>
> Agradeço desde já,
>
> Átila Prates Correia.
>
> _________________________________________________________________
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>


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> On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>>
>>Pensei em alguma coisa assim:
>>
>>1)
>>Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
>>escolhida. Seja
>>X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela
>>primeira vez.
>>
>>P(X=1)=1/n
>>P(X=2)=1/n*1/(n-1)
>>P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)
>>
>>.
>>.
>>.
>>P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)
>>
>
> Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
> primeira, fiz besteira.
>
> 2) Encontrei 0,037 e 0,2702
>>
>
> Na segunda, concordamos.
>
> 3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m
>>
>
> No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está
> errada na minha resposta anterior)...
> A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não 
> entendi
> a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais?
>
> Um abraço.
>
> Valdoir Wathier.
>
> ALguém confirma esses valores?!
>>
>>------------------------------
>>Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
>>From: vwathier@gmail.com
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
>>
>>On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>>
>>Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões:
>>
>>1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
>>seleciona, a cada tentativa,
>>uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a
>>probabilidade de que ele abra a porta
>>na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n).
>>
>>
>>Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
>>1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para
>>qualquer chave.
>>A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das
>>anteriores abra a porta e que ela abra.
>>Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
>>A primeira chave não abre: (n-1)/n.
>>A segunda chave não abre: (n-1)/n.
>>A terceira chave abre: 1/n.
>>A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n
>>
>>Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que
>>teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre,
>>ou seja:
>>[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
>>1)^(k-1) / n^k
>>
>>Acho que é algo nessa linha.
>>
>>  2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
>>total de peças de uma fábrica.
>>As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se
>>uma peça é selecionada
>>aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça
>>selecionada é defeituosa, encontre a
>>probabilidade de ter sido produzida pela máquina C.
>>
>>
>>Probabilidade de  ser defeituosa:  Para isso você pega o percentual de
>>produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito
>>que cada uma produs.
>>ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças
>>produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está
>>bem
>>claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também).
>>Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram
>>produzidas pela máquina A).
>>Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram
>>produzidas pela máquina B).
>>Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram
>>produzidas pela máquina C).
>>
>>A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%.
>>
>>Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida
>>pela máquina C?
>>A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a
>>probabilidade é de aproximadamente 27%.
>>
>>  3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um
>>exame de múltipla escolha é p.
>>Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é
>>correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe
>>ao acaso uma das m respostas possíveis.
>>
>>  a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão?
>>     1/m
>>
>>
>>b) Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de
>>que ele tenha "chutado" A resposta?
>>   Há duas formas dele acertar. A primeira é sabendo a questão, o que
>>corresponde a P, a segunda é, se não souber (não p), chutar e acertar.
>>Ainda
>>poderia chutar e errar, mas já sabemos que acertou, então, a probabilidade
>>de que ele tenha chutado é a probabilidade de: ele NÃO saber (que
>>corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar.
>>
>>
>>  (1 - p)*(1/m) = (1-p)/m
>>
>>  Desde já grato pela sua ajuda!
>>
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>>
>>
>>Espero que ajude,
>>
>>Valdoir Wathier.
>>
>>
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>>
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