[obm-l] fórmula geral para a soma S

["Tales Prates Correia" <tales1337@xxxxxxxxxxx>]

Olá integrantes da lista,

Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês -

o qual pedia para determinar a seguinte soma:

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos:

S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)

S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)

Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a soma

das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório:

S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .

onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma

progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é 
diferente

-A/q , com q natural não nulo.

E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula:

S = (n-1)/(A1)x(An)

Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada.

Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para o 
mesmo problema.

Agradeço desde já,

Átila Prates Correia.

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On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>
>Pensei em alguma coisa assim:
>
>1)
>Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
>escolhida. Seja
>X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela
>primeira vez.
>
>P(X=1)=1/n
>P(X=2)=1/n*1/(n-1)
>P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)
>
>.
>.
>.
>P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)
>

Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
primeira, fiz besteira.

2) Encontrei 0,037 e 0,2702
>

Na segunda, concordamos.

3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m
>

No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está
errada na minha resposta anterior)...
A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não entendi
a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais?

Um abraço.

Valdoir Wathier.

ALguém confirma esses valores?!
>
>------------------------------
>Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
>From: vwathier@gmail.com
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
>
>On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <anselmo_rj@hotmail.com> wrote:
>
>Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões:
>
>1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
>seleciona, a cada tentativa,
>uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a
>probabilidade de que ele abra a porta
>na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n).
>
>
>Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
>1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para
>qualquer chave.
>A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das
>anteriores abra a porta e que ela abra.
>Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
>A primeira chave não abre: (n-1)/n.
>A segunda chave não abre: (n-1)/n.
>A terceira chave abre: 1/n.
>A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n
>
>Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que
>teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre,
>ou seja:
>[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
>1)^(k-1) / n^k
>
>Acho que é algo nessa linha.
>
>  2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
>total de peças de uma fábrica.
>As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se
>uma peça é selecionada
>aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça
>selecionada é defeituosa, encontre a
>probabilidade de ter sido produzida pela máquina C.
>
>
>Probabilidade de  ser defeituosa:  Para isso você pega o percentual de
>produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito
>que cada uma produs.
>ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças
>produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está 
>bem
>claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também).
>Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram
>produzidas pela máquina A).
>Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram
>produzidas pela máquina B).
>Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram
>produzidas pela máquina C).
>
>A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%.
>
>Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida
>pela máquina C?
>A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a
>probabilidade é de aproximadamente 27%.
>
>  3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um
>exame de múltipla escolha é p.
>Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é
>correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe
>ao acaso uma das m respostas possíveis.
>
>  a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão?
>     1/m
>
>
>b) Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de
>que ele tenha "chutado" A resposta?
>   Há duas formas dele acertar. A primeira é sabendo a questão, o que
>corresponde a P, a segunda é, se não souber (não p), chutar e acertar. 
>Ainda
>poderia chutar e errar, mas já sabemos que acertou, então, a probabilidade
>de que ele tenha chutado é a probabilidade de: ele NÃO saber (que
>corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar.
>
>
>  (1 - p)*(1/m) = (1-p)/m
>
>  Desde já grato pela sua ajuda!
>
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>
>
>Espero que ajude,
>
>Valdoir Wathier.
>
>
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