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Vamos lá...
vou definir...
R (x) = raiz quadrada de x
Assim,
R(a+(b)) = ?
queremos "quebrar" o radical duplo R(a+(b))
como uma soma de radicais simples, ou seja, R(a+(b)) =R(x) + R(y).
Vamos elevar ao quadrado os dois membros da
igualdade R(a+(b)) =R(x) + R(y),
R(a+(b)) =R(x) + R(y).
==> [R(a+(b))]^2 = [R(x) + R(y)]^2 ==> a+R(b)
= (x + y) + 2.R(x).R(y)
igualando as partes racionais e irracionais no dois
membros, temos:
a+R(b) = (x + y) +
2.R(x).R(y) ==> x+y=a e 4.xy=b ==>
y=a-x e 4.xy=b
e daí...
4.x.(a-x) - b =0 ==>
4x^2-4ax+b=0 ==> x' = [a+R(a^2-b)]/2 e x'' =
[a-R(a^2-b)]/2
Se x= [a+R(a^2-b)]/2 então y=a -x
=a - [a+R(a^2-b)]/2 ==> y = [a-R(a^2-b)]/2
Se x= [a-R(a^2-b)]/2 então y=a -x
=a - [a-R(a^2-b)]/2 ==> y = [a+R(a^2-b)]/2
assim em qualquer dos dois casos
teremos:
R(a+(b)) =R(x) + R(y)
==> R(a+(b)) = R[ (a+R(a^2-b))/2 ] +
R[ (a - R(a^2-b))/2 ]
apenas para deixar a fórmula mais "simpática"
costuma-se chamar R(a^2-b) de c, assim a fórmula final fica
R(a+R(b)) = R[(a+c)/2] +
R[(a-c)/2] , onde c = R(a^2-b) .
o caso em que vc quer decompor R(a - R(b)) se faz
de modo análogo e a fórmula final fica R(a - R(b)) = R[(a+c)/2] -
R[(a-c)/2] , onde c = R(a^2-b) .
Finalmente que a decomposicão de um radical duplo
como soma ( ou diferença) de radicais simples só é possível quando a^2-b é um
quadrado perfeito, pois se não , apesar da fórmula acima continar válida, vc não
"quebra" o radical duplo em radicais simples pois no segundo membro da igualdade
R(a - R(b)) = R[(a+c)/2] - R[(a-c)/2]
ainda teríamos radicais duplos visto que c =
R(a^2-b) .
valew,
Cgomes
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