n! - numero de formas de arranjar os numeros 2,3,...,n+1 (dos n+1 sem utilizar o 1).
A seguir, inseriremos o 1 entre os numeros do arranjamento acima: Se nao colocarmos o 1 na primeira posicao, temos n possibilidades, dai resulta
n.n! possibilidades de arranjarmos os n+1 numeros sem colocar o 1 na primeira posicao.
Fixe o 1 na primeira posicao. Existem (n-1)! possibilidades sem utilizar o numero 2.
A seguir, inseriremos o 2: Se nao colocarmos o 2 na segunda posicao, temos n-1 possibilidades, dai resulta
(n-1). (n-1)!
Seguindo com este argumento,
Se fixarmos os numeros o 1,2,...,k nas posicoes 1,2,...,k, e nao utilizarmos o k+1, temos (n+1-k)! possibilidades.
A seguir, inseriremos o k+1: Se nao colocarmos o k+1 na posicao k+1, temos n+1-k possibilidades, dai resulta
(n+1-k). (n+1-k)! possibilidades, k=1,...n
Desta forma, contaremos todas as permutacoes de n+1 numeros, menos aquela em que os numeros estao em suas posicoes: 1,2,...,n, n+1
Portanto, (n+1)! -1possibilidades
[]'s,
Paulo