RES: [obm-l] Integral maior q zero

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

1) Fcamos G(x) = F(x) - Lnx = Int [1a x]  (e^t)*dt /t   - Int [1a x]  1/t dt =  Int [1a x]  ((e^t) -1)/t dt /t  

 

Para  0 < x < 1, o integrando eh negativo, de modo que a integral de x a 1 torna-se menos negativa aa medida que x aumenta. Assim, a integra de 1 a x torna-se menos positixa, a  funcao portanto decresce.

 

Para x =1, G(x) = 0

 

Para x >1, o integrando eh positivo e G cresce.

 

Logo, G tem um minimo global em x* =1, o que signfica que G(x) >= G(x*) = 0 para todo x, com igualdade sse x =1. Equivale a dizer que Ln x <= F(x) para todo x, com igualdade sse x =1

 

 

 

2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) < 1/x  para todo x>0

 

Segundo conhecida desigualdade (oriunda to T. do Valor Medio), Lny <= y-1 para todo y >0. com igualdade sse y =1. Logo, Ln (1+ y) <=y Fazendo y =1/x, obtemos Ln(1/x)<= 1/x -1 e, portanto, Ln(1 + 1/x) < 1/x para todo x >0. As funcoes tendem a se igualar no infinito

 

A desigualdade da direita equivale a dizer que 1/(1/y +2) = y/(1 + 2y) < Ln(1 + y) para todo y >0. Ambas as expressoes tendem a 0 quando y ->0. Desta forma, podemos comparar as derivadas (baseados na conhecida formuma f(x) = f(0) + x f'(0) + o(x)) .

 

 (y/(1 + 2y))' = 1/(1 + 2y)^2       (Ln(1 + y))' = 1/(1 +y)   

 

A condicao sera atendida para y > 0 sse  1 + y < (1 + 2y)^2 = 1 + 4y + 4y^2 , que eh claramente satisfaita. Isso prova a desigualdade da esquerda  

 

[Artur Costa Steiner] 

 

 

 

 

 

 

 ---Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Leonardo Borges Avelino
Enviada em: domingo, 13 de maio de 2007 14:26
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Integral maior q zero

> 1)
> F(x)=  t  , x>0
>
> Para quais valores de x 
>   vale: Ln x <= F(x)
>
>
>
> 2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) 
>   < 1/x  para todo x>0