Re:[obm-l] Integral maior q zero

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Sun, 13 May 2007 14:25:59 -0300
Assunto: [obm-l] Integral maior q zero

> 1)
> F(x)= Int [1a x]  (e^t)*dt / t  , x>0
> 
> Para quais valores de x vale: Ln x <= F(x)
>
Seja G(x) = F(x) - log(x).
Entao:
G'(x) = (e^x - 1)/x ==>
G'(x) < 0, se 0 < x < 1;
G'(1) = 0;
G'(x) > 0, se x > 1.

Logo, 1 eh um ponto de minimo global de G, com G(1) = 0.
Ou seja, G(x) >= 0, para todo x > 0 ==>
log(x) <= f(x), para tdod x > 0, com igualdade sss x = 1.
   
> 
> 
> 2) Provar que 1/(x+1/2) < Ln(1+1/x) < 1/x  para todo x>0
> 

Faca y = 1/x. 
Entao o problema fica provar que:
2y/(y+2) < log(1+y) < y, para todo y > 0.

Quando y -> 0+, todos as tres expressoes tendem a 0.
Assim, basta mostrar que vale a desigualdade das derivadas, ou seja:
4/(y+2)^2 < 1/(1+y) < 1

A segunda desigualdade eh obvia.
A primeira tambem: ela equivale a y^2 > 0 (faca as contas e veja).

[]s,
Claudio.

 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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