Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números 56....56 etc

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, gente (e Claudio),

Eu achei este problema um pouquinho pesado para o Nivel 1 (Olimpíada de Maio de 2003, acho) e até comentei isto com o  Nicolau (em off) há algum tempo.

Eis uma solução mais "com cabeça" de Nivel 1 (eu acho) e com um pouquinho de força bruta...   Embora eu a tenha feito, o Nicolau a completou.

O número termina em 56 e 5+6 = 11; logo, como a soma de seus algarismos é 56 a soma dos demais é 45.  Então ele tem que ter no mínimo 5 algarismos (pois 5 x 9 = 45).    Além disso é divisível por 8 (e 7 pois é divisível por 56).   Então os três últimos algarismos formam um número divisível por 8...  Logo, devem ser 256, 456, 656 ou 856.  Então nosso N = M56, onde M é tal que:
- a soma dos algarismos deve ser 45 (portanto no mínimo 5 algarismos);
- o último algarismo deve ser 2, 4, 6 ou 8 (então tem que ter mais do que 5 algarismos)
- deve ser divisível por 7
- deve ser o menor possível.

Tentemos M's:
O menor possível, soma dos algarimos igual a 45, último algarismo 8,6,4,ou 2 e divisível por 7...:
6 algarismos (do menor pro maior)
        199998 - não é divisível por 7
        289998 - não é divisível por 7
        298998 - é divisível por 7 (é o cara!)
        
Logo o N procurado é 29899856

Nehab


At 16:21 25/4/2007, you wrote:

> O enunciado implica que:
> N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
> N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
> N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)
>  
> Ou seja:
> N == 6 (mod 25)
> N == 0 (mod 8)
> N == 0 (mod 7)
> N == 2 (mod 9) 
>  
> n == 6 (mod 25) ==>
> N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==> 
> a == 2 (mod 9) ==>
> a = 2 + 9*b ==>
> N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>
> b == 0 (mod 8) ==>
> b = 8c ==>
> N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>
> c == 0 (mod 7) ==>
> c = 7d ==>
> N = 56 + 12600*d
>  
> Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou
> equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.
>  
> Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o
> algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de
> 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos,
> pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que
> não é múltiplo de 126).
>  
> Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é
> 45.
> O N correspondente é 1.119.988.856. 
> Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao
> enunciado.
>  
> Por enquanto, estou sem idéias.
>  
> []s,
> Claudio.
>  
>  
>  
> De:
> owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para:
> obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data:
> Mon, 23 Apr 2007 16:46:56
> -0300
> Assunto:
> [obm-l] Teoria dos
> números
> >  
> >    Amigos, ajude-me nessas
> questões:
> >  
> > 1) Ache o menor número natural terminado em 56,
> divisível por 56, e com a soma dos seus algarismos igual a 56.
> >  
> > 2) Quantas soluções inteiras tem a equação
> x^1995 + y^1996 = z^1997