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[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica

Qual a definicao de imersao que se adotou aqui?
 
Obrigado
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: sexta-feira, 13 de abril de 2007 17:03
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 12 Apr 2007 04:27:37 -0300 (BRT)
Assunto: [obm-l] Imersão isometrica
>
> > Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?
>
> " Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão
> isometrica f: M-----N temos que f(M)é um aberto em N, provar que M é o
> conjunto vazio"
>
> Abs.
>
 
Ou seja, temos que provar que se M <> vazio, então existe um espaço métrico N e uma imersão isométrica f:M -> N tal que f(M) não é aberto em N.
 
Por exemplo, sejam:
N = MxR (R = conjunto dos reais), com a métrica:
d_N((m1,x1),(m2,x2)) = d_M(m1,m1)+|x1-x2|;
e
f:M -> N dada por f(m) = (m,0).
f é claramente uma imersão isométrica e f(M) = Mx{0}.
 
Como M <> vazio, existe m em M e f(m) = (m,0).
Qualquer que seja r > 0, a bola B((m,0),r) contém o ponto (m,r/2), o qual pertence a N - f(M). Logo, (m,0) não é interior a f(M) e, portanto, f(M) não é aberto.  
 
[]s,
Claudio.