[obm-l] Re:[obm-l] Imersão isometrica

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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Data:

Thu, 12 Apr 2007 04:27:37 -0300 (BRT)

Assunto:

[obm-l] Imersão isometrica

>

> > Pessoal, alguem sabe provar esse resultado?

>

> " Seja M um espaço metrico com a seguinte propriedade: Para toda imersão

> isometrica f: M-----N temos que f(M)é um aberto em N, provar que M é o

> conjunto vazio"

>

> Abs.

>

 

Ou seja, temos que provar que se M <> vazio, então existe um espaço métrico N e uma imersão isométrica f:M -> N tal que f(M) não é aberto em N.

 

Por exemplo, sejam:

N = MxR (R = conjunto dos reais), com a métrica:

d_N((m1,x1),(m2,x2)) = d_M(m1,m1)+|x1-x2|;

e

f:M -> N dada por f(m) = (m,0).

f é claramente uma imersão isométrica e f(M) = Mx{0}.

 

Como M <> vazio, existe m em M e f(m) = (m,0).

Qualquer que seja r > 0, a bola B((m,0),r) contém o ponto (m,r/2), o qual pertence a N - f(M). Logo, (m,0) não é interior a f(M) e, portanto, f(M) não é aberto.  

 

[]s,

Claudio.