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Re: [obm-l] integral



Prezados Artur
 
Da sua exposição entendo que a cardinalidade própria do contínuo é devida aos transcendentes, posto que os números algébricos, racionais ou irracionais, são enumeráveis. Porem os transcendentes, por sua vez ,compreendem os aleatórios e os demais transcendentes não aleatários, sendo esses últimos (ignoro se têm um nome genérico)  aqueles  transcendentes que, tais como "Pi", "e", "Fi" , todas as funções trigonométrricas e muitas outras mais, podem ser descritos por um algoritmo com um número finito de passos. Tais números parece-me que também são enumeráveis, um vez que os algoritmos que os descrevem são compostos de proposiçãoes e essas de palavras, que, por sua vez são agregados de um número finito de letras e  simbolos. Então a conclusão seria de que a existencia dos números transfinitos se deve , por via de consequência,  à admissão da existência dos números aleatários. Estou certo?
E admitindo a existência desses números, os aleaórios, teríamos uma situação singular em que definimos uma classe mas somos incapazes de nomear sequer um membro da mesma. Não é extranho ?
Desde já desculpe se tomei seu tempo e falei alguma coisa descabida.  Não sou matemático.
 
Fernando
Em 04/04/07, BRENER <CARLOSBRENER@terra.com.br> escreveu:
ola, estou precisando de uma ajudinha para resolver a integral abaixo
int (0-->+00) ( arctan(pi.x)-arctan(x))/x   dx
----- Original Message -----
From: Artur Costa Steiner
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, April 04, 2007 10:24 AM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Análise

 
Bom dia Andre
 
Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de analise.
 
(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1)   (z1, z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0 e cujas componentes sao os coeficientes do polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.
Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P = Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.
 
Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes, incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e, portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1, oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao {R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i  e, portanto, A - sao enumeraveis.
Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.
 
Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto, nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais" transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais. 
 
Artur 
 
   
 
 

[Artur Costa Steiner] 
 
 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de André Rodrigues da Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Análise

Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:

1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ tais que x < 1, x < (2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y) > 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.


2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.


3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a < x< b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.



Aguardo sugestões!
Abraços!


André RC


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Fernando A Candeias