[obm-l] RES: [obm-l] Análise

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Bom dia Andre

 

Vou ajudar no exercicio 2. Os outros 2 tem em quase todos os livrois de analise.

 

(2) - Seja P o conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros. Para cada inteiro n >=0 (incluindo os polinomios constantes, de grau 0), seja P_n o conjunto dos polinomios de coeficientes inteiros do grau n. A cada elemento de P_n corresponde um e somente corresponde um vetor de Z^(n+1)   (z1, z2....z_(n+1)), no qual z1 <>0 e cujas componentes sao os coeficientes do polinomio a partir do coeficiente lider. Por outro lado, a cada elemento de Z^(n+1) com a primeira componente nao nula corresponde um e somente um elemento de P_n, Hah, assim, uma bijecao entre P_n e um subconjunto do enumeravel Z^(n+1), do que concluimos que P_n eh enumeravel.

Temos que os P_n, por forca de suas definicoes, sao disjuntos 2 a 2 e que P = Uniao (n= 0, oo) P_n. Assim, P eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, o que implica que seja enumeravel.

 

Seja A o conjunto dos numeros algebricos. A cada elemento P_i de P, acima definido, corresponde um conjunto finito R_i, composto pelas suas raizes, incluindo as complexas nao reais. Todo elemento de A eh raiz de algum P_i e, portanto, pertence ao correspondente R_i. Logo A esta contido em Uniao (i=1, oo) P_i (na realidade, existe igualdade). Como cada R_i é finito e a colecao {R_i} eh enumeravel, segue-se que a uniao dos R_i  e, portanto, A - sao enumeraveis.

Observe que nosso A inclui os complexos algebricos. Eh imediato que isto implica que os reais algebricos sejam enumeraveis.

 

Sendo T o conjunto dos trancendentes, temos que R = A Uniao T. Sabemos que R nao eh enumeravel e vimos que T eh enumeravel. Para que esta equacao de conjuntos possa ser verdadeira, segue-se que T é nao enumeravel e, portanto, nao vazio. Logo, existem numeros transcendentes. Alias. hah "mais" transcendentes do que algebricos e mesmo do que iracionais, post T tem cardinalidade maior do que a dos algebricos e que a dos racionais. 

 

Artur 

 

   

 

 

[Artur Costa Steiner] 

 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de André Rodrigues da Cruz
Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 19:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Análise

> Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres 
>   problemas:
>
> 1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ 
>   tais que x < 1, x < (2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que 
>   (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y) > 0. 
> Em seguida, considere o 
>   conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e conclua que o número 
>   real c = sup X cumpre c^2 = 2.
>
>
> 2) Prove que o conjunto dos 
>   polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se 
>   algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o 
>   conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se 
>   transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números 
>   transcendentes. 
>
>
> 3) Prove que um conjunto I contido em R é um 
>   intervalo se, e somente se, a < x< b, a, b pertencentes a I implica x 
>   pertencente a I.
>
>
>
> Aguardo 
>   sugestões!
> Abraços!
>
>
> André RC