[obm-l] Análise

["André Rodrigues da Cruz" <andrercruz@xxxxxxxxx>]

Olá, será que alguém poderia me ajudar com esses tres problemas:

1) Dados a, b em R+ com a^2 < 2 < b^2, tome x, y em R+ tais que x < 1, x < (2 - a^2)/(2a + 1) e y < (b^2 - 2)/2b. Prove que (a + x)^2 < 2 < (b - y)^2 e (b - y) > 0.
Em seguida, considere o conjunto limitado X = {a pertencente a R+; a^2 < 2} e conclua que o número real c = sup X cumpre c^2 = 2.


2) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.


3) Prove que um conjunto I contido em R é um intervalo se, e somente se, a < x< b, a, b pertencentes a I implica x pertencente a I.



Aguardo sugestões!
Abraços!


André RC