Re: [obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-és imas potências dos n primeiros naturais

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Ola,
conheco uma outra generalizacao, utilizando diferencas finitas.
Dado f(x), somatório de 0 até n de f(x) = g(n+1) - g(0)
onde g(x) é a integral finita de f(x).. isto é: g(x) eh a funcao cuja
diferenca finita eh f(x)...
como f(x) = x^k, temos que encontrar a integral finita de x^k

nao estou em casa, mas lembro que tenho um livro que apresenta essa
integral finita em funcao de um integral da funcao gamma...
deste modo, estaria resolvido o problema de outro modo

abracos,
Salhab


On 4/2/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
>
> O processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas
> potências  dos n primeiros  numeros naturais (como, na realidade, a da soma
> das k-esimas potencias dos  n primeiros termos de uma PA) eh um polinomio do
> grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos coeficientes a
> determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim eh
> trabalhoso.
> O coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1).
> Artur
> .
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
> J. Renan
> Enviada em: segunda-feira, 2 de abril de 2007 14:43
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
>
> Olá à todos!
>
> Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k?
>
> Para k = 0, temos S = n
> Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2
> Para k=2 pensei no seguinte..
>
> (1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1
> (2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1
> ...
> (n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1
>
> Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita
> sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação:
>
> 0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3
>
> Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6
>
> Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos
> na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2)
>
>
> Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1
> afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me
> pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em
> função de S(k-1). Como tirar essa recursividade?
>
> --
> Abraços,
> J.Renan

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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