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[obm-l] RES: [obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
O
processo usual eh esse mesmo. Podemos provar que a soma das k-esimas
potências dos n primeiros numeros naturais (como, na realidade, a da
soma das k-esimas potencias dos n primeiros termos de uma PA) eh um
polinomio do grau k + 1 em n. Assim, podemos usar este fato e o metodo dos
coeficientes a determinar para achar os coeficientes do polinomio. Mesmo assim
eh trabalhoso.
O
coeficiente do termo lider eh sempre 1/(k+1).
Artur
.
Olá à todos!
Alguém
conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k?
Para k = 0, temos
S = n
Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2
Para k=2 pensei no
seguinte..
(1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1
(2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 +
3*2 -1
...
(n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1
Somando essas n
equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o
primeiro termo da próxima equação:
0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3
Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S =
(n+1)(2n+1)*n/6
Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos
(n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S =
[(1+n)*n/2]^2)
Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre
n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais
elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a
sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade?
--
Abraços,
J.Renan