Re: [obm-l] Maximização

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Vinícius,

Como é meu hábito, ao invés de resolver  problema básicos postados,
vou dar o caminho das pedras, propondo outro problema simples para você
ter uma percepção geométrica dos problemas propostos:

Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z = x + 2y,
sabendo que:

(1)  x >= 0
(2)  y >= 0 
(3)  x + y <= 5   
(4)  3x + 2y >= 6   

Note que todas as "restrições" são lineares e se você pensar no
plano xy perceberá que cada restrição define uma região do plano.
(1) região do 1 e 4 quadrantes;
(2) região do 1 e 2 quadrantes;
(3) região "abaixo" da reta que passa pelos pontos (0;5) e
(5;0);
(4) região acima da reta que passa pelos pontos (2;0) e (0;3).

A interseção destas regiões é um quadrilátero de vértices nos pontos
(2;0); (5;0); (0;3) e (0;5).

Agora imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você
quer maximizar...

Veja que as reta  4 = x + 2y  e 6 = x + 2y são paralelas e
quanto maior o valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou seja, se
você vai aumentando z, o gráfico da reta  z = x + 2y vai
subindo...

Ora, desejamos um par (x;y) que esteja "na região delimitada pelo
quadrilátero"  e que torne a expressão z = x + 2y máxima,
certo?

Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a uma reta
que "encoste" na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto
possível, você entendeu a interpretação geométrica do problema de
programação linear.

E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção das
retas  x + y = 5   e  3x + 2y = 6   (veja
as restrições 3 e 4).  Daí basta calcular o valor de z para este
par.

Espero ter ajudado.

Abraços,
Nehab

At 07:25 30/3/2007, you wrote:
> Bom dia.
> Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas de
> maximização:
>  
> "Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos:
> malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para fabricação. As
> malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por unidade da
> mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias para confeccionar
> cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada
> departamento, são apresentados a seguir:
> Departamento 1
> Horas / dia: 300
> Horas necessárias (mala): 2
> Horas necessárias (mochila): 0 (não produz)
> Departamento 2
> Horas / dia: 540
> Horas necessárias (mala): 0 (não produz)
> Horas necessárias (mochila): 3
> Departamento 3
> Horas / dia: 440
> Horas necessárias (mala): 2
> Horas necessárias (mochila): 2
> Departamento 4
> Horas / dia: 300
> Horas necessárias (mala): 6/5
> Horas necessárias (mochila): 3/2
>  
> Maximizar o lucro da empresa."
>  
> "Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de
> aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os dados
> abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos três
> departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada departamento
> e o lucro unitário de cada placa:
>  
> Departamento I: Tempo disponível: 900h
> Departamento II: Tempo disponível: 400h
> Departamento III: Tempo disponível: 600h
>  
> Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40):
> Operações em horas (departamento I): 2h
> Operações em horas (departamento II): 2h
> Operações em horas (departamento III): 4h
>  
> Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30):
> Operações em horas (departamento I): 5h
> Operações em horas (departamento II): 5h
> Operações em horas (departamento III): 2h
>  
> Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20):
> Operações em horas (departamento I): 10h
> Operações em horas (departamento II): 3h
> Operações em horas (departamento III): 2h
>  
> Maximizar o lucro da empresa."
>  
> Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y):
> Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4)
> Restrições de cada departamento:
> 2x1 + 0y1 <= 300
> 3y2 + 0x2 <= 540
> 2x3 + 2y3 <= 440
> (6/5)x4 + (3/2)y4 <= 300
>  
> Equação e inequações do segundo problema:
> Função lucro: 40a + 30b + 20c
> Restrições de cada departamento:
> 2a+5b+10c<=900
> 2a+5b+3c<=400
> 4a+2b+2c<=600
>  
> Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à
> maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições
> interdependentes e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro
> problema) ou três (no segundo problema) inequações?
> Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser considerada a
> maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para que as restrições
> pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes?
>  
> Obg,
> Vinícius
>