[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
Re: [obm-l] Congruência modular
Olá Bruna, vou acrescentar alguns comentários 'as
demonstrações dos colegas que podem passar despercebidos
a você em uma primeira leitura.
n^2-1=(2t+1)^2-1
=4t^2+4t=4t(t+1)
Se n é impar n se escreve como n = 2t+ 1 para todo t, logo temos que n^2 -1 = 4t(t+1) que é
divisível por 4, logo é congruente a zero mod 4 (resto da divisão é zero).
Por outro lado o colega Saulo está afirmando que t(t+1) é congruente a zero mod 2, ou seja,
é divisivel por 2.
Veja, temos que :
1) Se t for par então automaticamente t(t+1) é divisivel por 2, porque é o produto
de um par por um impar, respectivamente (t é par e t+1 é impar).
Se t for impar então t é impar, mas t+1 é par e t(t+1) é o produto de um impar por um
par, respectivamente.
logo
4t(t+1)=0mod8
Agora note que 4t(t+1) é divisivel por 4, por causa do quatro "na frente".
E que 4t(t+1) também é divisivel por 2, mas
agora não por causa do 4, mas porque t(t+1) é divisivel por 2 e isso não tem nada a ver
com o fator 4. Logo essas "divisibilidades" são independentes e 4t(t+1) é divisivel por
8, porque é divisivel por 4 e por 2.
Assim podemos escrever:
4t(t+1) = 0mod8
aqui o = significa congruente e não igual.
Uma coisa que é mais ou menos óbvia, mas que pode ser muito dificil de perceber a
priori para resolver esse exercício é perceber que t (t+1) é sempre divisível por 2 para todo valor
de t inteiro. Isso pode ser verificado por inspeção (tome t= 1, 2, 3 etc e verifique).
Ou também por indução.
Sallab mostrou, inclusive, que o problema todo pode ser resolvido por indução, como você
deve ter checado.
Bem, espero que minhas explicações não a tenham deixado mais confusa. Qq dúvida pergunte!
Abraço!
Ronaldo Luiz Alonso
On 3/24/07, Bruna Carvalho <bruna.carvalho.pink@gmail.com
> wrote:
Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode me dar uma ajudinha.
bjos.
--
Bjos,
Bruna
--
---------------------------------------------------------
Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.