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Olá,
vamo fazer k/x = y, entao:
qdo x->inf, y->0
lim [cos(y)]^(k/y) = lim [(cos(y))^(1/y)]^k = { lim
[cos(y)]^(1/y) }^k, quando y->0
agora, temos que calcular: lim [cos(y)]^(1/y),
y->0
cos(y)^(1/y) = exp[ ln(cos(y))/y ]
assim, vamos calcular lim ln[cos(y)]/y,
y->0
notemos que ln(cosy) <= y^2 para y<1 [pra
provar, tome f(x) = ln(cosx) - x^2 e mostre que é sempre
negativo..]
agora: 0 <= ln(cosy)/y <= y
assim, pelo teorema do sanduiche, ln(cosy)/y ->
0 quando y->0
logo: exp[ ln(cosy)/y ] -> 1, quando y->0 ...
logo: cos(y)^(1/y) -> 1...
assim: lim x->inf [cos(k/x)]^x = 1^k =
1
PS: ja q ficou pequeno, vamos mostrar a
desigualdade..
f(x) = ln(cosx) - x^2... f(-x) = ln(cos(-x)) -
(-x)^2 = f(x) [funcao par]
f'(x) = 1/cosx * (-senx) - 2x = -tgx-2x = -[tgx +
2x]
para 0<x<1, temos que tgx>=0 e 2x>=0...
logo f'(x) < 0
a funcao eh decrescente.. mas f(0) = 0 .. assim, no
interno [-1, 1] a funcao é sempre negativa!
isto é: f(x) <= 0 ... ln(cosx) <= x^2, para
|x|<1
abracos,
Salhab
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