[obm-l] Conjunto dos pontos de condensação bilaterais

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Boa noite.

 

Vou propor um problema para o qual dei uma solução mas depois vi que tinha um engano sutil.

 

Seja A um subconjunto não enumeravel de R. Dizemos que x eh ponto de condensacao bilateral de A se, para todo eps> 0, os intervalos ( x -eps, x) e (x , x + eps) intersectarem A segundo uma quantidade nao enumeravel de elementos (por exemplo, 0 eh  ponto de condensacao bilateral de (-1, 1))  . Mostre que (1) O conjunto dos pontos de condensacao bilaterais de A nao eh enumeravel e (2) o conjunto dos pontos de condensacao bilaterais de A que pertencem a A nao eh enumeravel.

 

Eh claro que, provando (2), (1) fica automaticamente provado. Mas na prova (equivocada) que eu dei pareceu mais facil provar antes (1) e depois particularizar para (2). Isto tambem me parece mais facil quando provamos (1) e (2) para pontos de condensacao gerais (os pontos podem se condensar so aa direita ou so aa esquerda, nao se exige condensacao dos 2 lados)

 

Abracos

 

Artur