[obm-l] ] RES: [obm-l] Definição limites superior e inferior

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Uma aplicação direta e imediata  disso em probabilidade não me ocorre agora. Mas ha um resultado interessante: Seja E_n uma sequencia de eventos em um espaco amostral, cada um com probabilidade p(E_n).  Se a soma das probabilidades destes eventos for finita, isto eh, Soma (n=1,oo) p(E_n) < oo (a serie converge), entao p(limsup E_n) = 0. Isto eh, a probabilidade de ocorrencia sumultanea de uma infinidade de eventos E_n eh nula. 

Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: segunda-feira, 19 de março de 2007 10:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Bom dia, George

Se A_n eh uma sequencia qualquer de conjuntos, temos as seguintes definicoes:

lim inferior de A_n, símbolo liminf A_n, eh o conjunto dos elementos que, com possível exceção de um número finito de conjuntos, pertence a todos os A_n's. Podemos mostrar que lim inf A_n = União(n =1, oo)(Inter(m =n, oo) A_n)

lim superior de A_n, símbolo limsup A_n, eh o conjunto dos elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos A_n. Podemos mostrar que lim sup A_n = Inter (n =1, oo)(Uniao (m =n, oo) A_n)

Uma definicão talvez mais precisa seria, em vez de dizer infinidade de conjuntos, dizer infinidade de índices n. 

Eh facil ver que Inter A_n <= liminf A_n <= limsup A_n <= Uniao A_n (<= significa propriamente contido ou igual)

Observamos tambem que, se A_n for crescente (A1 <= A2 < = A3....), entao liminf A_n = limsup A_n = Unia A_n. Se for decrescente(A1 >= A2 >= A3....), entao Inter A_n = liminf A_n = limsup An .

Artur    



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de George Brindeiro
Enviada em: domingo, 18 de março de 2007 14:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Definição limites superior e inferior


Boa tarde a todos,

Estou estudando Probabilidade e Estatística, e me deparei com uma definição 
que estou tendo dificuldades de compreender. Quando temos uma sequência de 
conjuntos, definem-se os limites superiores e inferiores como a união das 
interseções e como a interseção das uniões. Não tenho como colocar a notação 
utilizada aqui, mas creio que vários saibam do que estou falando.

Qual o porque desta definição? Como aplico?

George

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