Re: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Hm, o lema não sei se está certo (vou pensar), mas dá para resolver o problema sem ele.

AB = A + B é equivalente a (A - I)(B - I) = I, onde I é a identidade. Logo B - I é a inversa de A - I. Como A^2001 = 0 <=> A^2001 - I = -I <=> (A - I)(A^2000 + A^1999 + ... + A + I) = -I, B - I = -A^2000 - A^1999 - ... - A - I e, portanto, B = -(A + A^2 + ... + A^2000) = -A(I + A + ... + A^1999), cujo determinante é igual a detA vezes det(-(I + A + ... + A^1999)), ou seja, detB = 0.

[]'s
Shine

----- Original Message ----
From: Jhonata Ramos <obm.jhon@gmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, February 19, 2007 2:00:43 PM
Subject: [obm-l] duvida - Vietnam Undergraduate Mathemtics Competition 2001


Pessoal,
tava olhando essa questão:

Let be given two matrices A, B from M_n(R) such that A^2001 = 0 and AB
= A+B. Show that det(B) = 0.

Source VUMC 2001

Vi uma solução que o cara fala o seguinte:

A^2001=0 => A is nipoltent detA=0
lemma: If X,Y commute, Y nilpotent
then det(X+Y)=detX

Gostaria de saber o que significa, nipoltent (não a tradução :)
e se o lemma dele ali é verdadeiro,

Forte abraço,
Jhonata Emerick Ramos

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================


 
____________________________________________________________________________________
Never Miss an Email
Stay connected with Yahoo! Mail on your mobile.  Get started!
http://mobile.yahoo.com/services?promote=mail

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================