RE: [obm-l] Somatorio da k-ésima potencia

[Paulo Santa Rita <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Ricardo e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Sim, existe. E trata-se de uma das mais belas formulas em teoria elementar dos numeros. Nos a devemos a um dos irmaos Bernoulli,
mas nao me recordo agora se foi o Joham ou o Jacques que a descobriu. Se definirmos os NUMEROS DE BERNOULLI pela recorrencia : 

B(0) = 1
Si[0 .. N, Binom(N+1,i)*B(i)] = 0, onde Si e o somatorio com indice "i"

Entao :

1^P + 2^P + 3^P + ... + N^P = ((N + B)^P - B^P)/(P+1), onde:
(N + B)^P deve ser expandido da forma usual (usando o Binômio de Newton), mas B^i deve ser interpretado como o i-ésimo número de Bernoulli.

Alguns exemplos de numeros de Bernoulli :

Sabendo B(0) = 1, vem:
Binom(2,0)*B(0) + Binom(2,1)*B(1) = 0   => B(1) = -1/2

Sabendo B(0) e B(1), vem :
Binom(3,0)*B(0) + Binom(3,1)*B(1) + Binom(3,2)*B(2) = 0   =>   B(2) = 1/6

E assim sucessivamente ...

Na formula acima, conforme eu ja falei, devemos desenvolver (N+B)^P usando o Binomio de Newton e, a seguir, substituir todo B^i pelo 
i-esimo numero de bernoulli, calculados previamente conforme mostrei acima.

Por exemplo, para acharmos uma formula fechada para S = 1^10 + 2^10 + ... + N^10 precisaremos desenvolver (N+B)^10, ou seja,
usar a formula de recorrencia para calcular ate o decimo numero de Bernoulli.

Bom, preciso ir. God Blesses you

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,160D,130207

> From: ricardo_paixao_santos@yahoo.com.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Somatorio da k-ésima potencia
> Date: Tue, 13 Feb 2007 15:31:43 -0300
> 
> Alguem sabe se existe uma formula fechada para 1^k + 2^k+...+n^k, onde k
> eh um natural qualquer?
> 
> para k=1, 2, 3 a formula eh bastante simples. Gostaria de saber se tem uma
> que valha para todo k.
> 
> Grato pela atencao
> Ricardo

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