Re: [obm-l] Conjunto nao enumeravel de R II

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Feb 13, 2007 at 10:19:08AM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
> Achei esse problema interessante:
> 
> Se S eh um subconjunto não enumerável de R, entao:
> 
> 1) Existem reais a < b tais que (a , b) /\ S nao eh enumeravel
> 
> 2) Se (a , b) /\ S nao eh enumeravel, entao existe c em (a, b) tal que os
> conjuntos (a, c) /\ S e (c , b) /\ S nao sao enumeraveis. 

Suponha (1) resolvido.

Seja d = inf { c | (a,c) inter S é não enumerável }.
Note que (a,d) inter S = união_n (a,d-1/n) inter S
donde (a,d) inter S é uma união enumerável de enumeráveis logo enumerável. 

Seja e = sup { c | (c,b) inter S é não enumerável }.
Note que (e,b) inter S = união_n (e+1/n,b) inter S
donde (e,b) inter S é uma união enumerável de enumeráveis logo enumerável. 

Assim ((a,d) união (e,b)) inter S é enumerável donde d < e.
Qualquer c no intervalo aberto (d,e) resolve o problema.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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