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Parab�ns Henrique, pela bela resolu��o
!!!
----- Original Message -----
Sent: Friday, February 09, 2007 9:55
AM
Subject: Re: [obm-l] Etiqueta (era:
Quesitos fu*******!!!)
Ol� Sr. Nicolau,
Bom dia!
Acredito que exista uma
forma mais gen�rica de resolver o problema ao inv�s de testar valores para X e
Y:
Considere o n�mero XXYY como 1000X + 100X + 10Y + Y = 100X(10+1) +
Y(10+1) = 11(100X+Y)
Como o n�mero XXYY � um quadrado perfeito ele
possui um n�mero par para cada um de seus fatores primos, caso contr�rio n�o
seria poss�vel extrair a ra�z quadrada. Por exemplo, o n�mero 225 que � um
quadrado perfeito possui 3,3,5,5 como fatores primos e SQRT( 3.3.5.5) = 3.5 = 15.
Como sabemos que XXYY �
igual a 11(100X+Y) o n�mero 100X+Y � m�ltiplo de 11, de modo que ele possua
pelo menos 2 fatores primos 11.
Sendo 100X+Y divis�vel por 11 fazemos:
100X+Y = 99X+X+Y. J� que 99X � m�ltiplo de 11, para 100X+Y ser m�ltiplo de 11,
X+Y tem que ser tamb�m.
Ao efetuarmos a divis�o 99X+X+Y por 11 teremos
9X+1, pois X+Y s� pode ser 11 j� que s�o d�gitos unit�rios que somados d� no
m�ximo 18 (X+Y igual a 0 tamb�m nos fornece um m�ltiplo de 11 mas isso seria
considerar X e Y iguais a 0 n�o sendo o n�mero XXYY de 4 algarismos desejado).
Os valores de X e Y que somados d� 11 s�o: 2,9 | 9,2 | 3,8 | 8,3 | 4,7
| 7,4 | 5,6 | 6,5
Agora temos que 9X+1 tamb�m � um quadrado perfeito
(ap�s a divis�o de XXYY por 11.11) , ou seja: k^2 = 9X+1 -- k^2-1 = 9X. O
�nico valor de k que nos fornece um m�ltiplo de 9 � k = 8 (aqui temos que
testar valores). Substituindo k achamos X = 7 e conseq�entemente Y = 4 (pelo
conjunto de pares de valores listados acima), sendo a resposta 7744.
Abra�os!
On 2/9/07, Nicolau C.
Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
wrote:
Gostaria
de pedir um pouco mais de cuidado com as palavras que s�o
usadas,
especialmente no subject. Lembrem-se que estas mensagens ficam
arquivadas
na minha home page, que o engenho de busca da PUC acessa estas
mensagens,
que o nome da OBM est� envolvido e que criancas fazem parte
do p�blico-alvo
da lista.
On Thu, Feb 08, 2007 at 11:57:58PM
-0200, ivanzovisk wrote:
> 1- Tirar a Raiz Quadrada de XXYY (XXYY eh
um numero de 4 algarismo que tem os
> dois primeiros digitos iguais e
os dois ultimos digitos tambem iguais)
> sabendo que ele eh quadrado
perfeito.
A resposta � 88 pois 88^2 = 7744 � a �nica
soluc�o.
Este problema � um pouco trabalhoso.
Uma forma de atacar
� considerar o poss�vel valor de Y.
Por exemplo, Y n�o pode ser 0 pois
n�o existe nenhum quadrado da forma XX.
Y tamb�m n�o pode ser 1 pois
nenhum quadrado acaba em ...11
como pode ser visto facilmente via
congru�ncia m�dulo 4.
Continue excluindo casos assim e voc� acaba
provando que a soluc�o � �nica.
[]s,
N.
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Instru��es
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Henrique
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