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Re:RES: [obm-l] sequencias

To: "obm-l" <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: Re:RES: [obm-l] sequencias
From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>
Date: Fri, 2 Feb 2007 23:57:06 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo.
Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a.
Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que:
x_n_k <= 2*pi*k + b < x_(n_k + 1).
Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200
Assunto: RES: [obm-l] sequencias

> De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) -> oo e l(n+1)
> - ln(n) -> 0.
> Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos
> percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é
> cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto
> contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro
> que isso noa eh prova, soh a ideia
> Artur 
> 
> -----Mensagem original-----
> De: claudio.buffara [mailto:claudio.buffara@terra.com.br]
> Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30
> Para: obm-l
> Assunto: Re: [obm-l] sequencias
> 
> 
> Soh pra complementar:
> sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e
> a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
> dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
> Pra ver isso, faca: 
> |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|sen((x-y)/2)| <=
> 2*|(x-y)/2| = |x-y|.
> 
> O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n
> divergente implica sen(x_n) divergente.
> Por exemplo, se a_n -> a entao x_n = a_n + 2*pi*n -> infinito, mas sen(x_n)
> -> sen(a).
> 
> O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n))
> seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
> se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons
> tempos aqueles...). 
> 
> No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de
> aderencia.
> Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia
> crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) -> 0 
> (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada,
> podemos tomar indices n_1, n_2, .... tais que:
> n_k = maior indice tal que x_n_k <= k*pi + pi/2 ==> 
> x_n_k <= k*pi + pi/2 < x_(n_k + 1)  (**)
> Mas (x_(n+1) - x_n) -> 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso
> quer dizer que:
> lim(k -> +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
> Logo, como seno eh continua:
> (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) -> sen((2m-1)*pi
> + pi/2) = -1;
> e
> (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) -> sen(2m*pi + pi/2) =
> 1.
> 
> Acho que eh isso.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
> ---------- Cabeçalho original -----------
> 
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
> Assunto: Re: [obm-l] sequencias
> 
> > Olá Artur,
> > 
> > sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf,
> 
> > entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ...
> > deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x)
> diverge 
> > qdo x->inf..
> > 
> > bom, qquer erro, por favor, me corrija!
> > 
> > abraços,
> > Salhab
> > 
> > ----- Original Message ----- 
> > From: "Artur Costa Steiner" <artur.steiner@mme.gov.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
> > Subject: RES: [obm-l] sequencias
> > 
> > 
> > Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo
> que
> > esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
> > valida
> > Artur
> > 
> > -----Mensagem original-----
> > De: Artur Costa Steiner
> > Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: RES: [obm-l] sequencias
> > 
> > 
> > No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a
> seq.
> > cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
> > 
> > A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o
> intervalo
> > em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
> > positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
> > depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para
> 0
> > por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
> > dadas mas não converge.
> > 
> > Artur
> > 
> > 
> > 
> > -----Mensagem original-----
> > De: carlos martins martins [mailto:carlossolrac10@hotmail.com]
> > Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] sequencias
> > 
> > 
> > sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com
> sequências,
> > 
> > i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
> > (x_n) é limitada.
> >   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
> > 
> > ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
> >   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
> >   Mostre que 1 <= a_n <= 2.
> > 
> > Na primeira não tive muito progresso.
> > 
> > Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não
> > consegui, cheguei
> > a_n <= 3.
> > 
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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