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opa,
acho que consegui agora! rsrs
tentei fazer prum caso particular (numero com 6
digitos) e saiu a demonstracao pra um caso geral..
primeiramente, vamos fazer o seguinte:
10 = 3 (mod 7)
10^k = 3^k (mod 7)
agora:
se k = 6n, temos: 3^6 = 1 (mod 7), assim: 3^(6n) =
1 (mod 7)
se k = 1 + 6n, temos: 3^(1 + 6n) = 3*3^(6n) = 3
(mod 7)
se k = 2 + 6n, temos: 3^2 * 3^(6n) = 3^2 = 9 = 2
(mod 7)
se k = 3 + 6n, temos: 3^3 * 3^(6n) = 3^3 = 27
= 6 (mod 7)
se k = 4 + 6n, temos: 3^4 * 3^(6n) = 3^4 = 3*27 =
3*6 = 4 (mod 7)
se k = 5 + 6n, temos: 3^5 = 3 * 4 = 5 (mod
7)
mas, um numero qquer pode ser escrito como:
Sum_{k=0}^{n} a_i * 10^i
basta dividirmos este somatorio em i = 6n, i = 1 +
6n, i = 2 + 6n, ..., i = 5 + 6n, e utilizarmos mod 7..
vamos cair exatamente no que foi
exposto.
deste modo, esta provado o seguinte:
1) justificativa do metodo
2) a unicidade, a menos de multiplos
3) se multiplos puderem ser utilizados, basta
tomarmos caras iguais (mod 7) entre 0 e 9, por exemplo:
1 = 8 (mod 7)
2 = 9 (mod 7)
os demais nao tem..
logo, os numeros que poderiam ser utilizados sao:
546231, 546931, 546238, 546938, e nenhum outro!
4) verificamos facilmente que todos acima sao
divisiveis por 7.. entao: sim, todos tem q ser divisiveis por 7 (nao há
contra-exemplo).
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Thursday, December 21, 2006 11:47
PM
Subject: [obm-l] DESAFIO:divisibilidade
por 7
Desculpem, havia
um pequeno erro no texto, mas foi corrigido.
A seguir um
resultado interessante, mas certamente desconhecido da maioria (se nao de
todos!) desta lista, e um desafio, especialmente para os grandes mestres:
Um
bom metodo para saber se um numero grande eh
divisivel (ou nao) por 7 consiste no seguinte:
Dado
um numero grande, por exemplo 6065534139, escrever abaixo deste numero, porem
da esquerda para a direita, o numero-chave 546231 de teste de
divisibilidade por 7, da seguinte maneira:
numero-dado
à 6
0 6
5 5
3
4 1
3
9
numero-chave Ã
6 2
3 1
5
4
6 2
3
1 ßescrito da esquerda para
direita
Observe que o numero-chave (que tambem eh divisivel por 7) foi
escrito da esquerda para a direita, comecando pelo ultimo algarismo, ou seja,
pelo 1.
Agora escreve-se abaixo deles o produto dos dois algarismos de
cada coluna:
Produtos
Ã
36 0
18 5
25 12
24 2
9 9
Adiciona-se agora esses produtos, que neste caso resulta 140. Se
esta soma for divisivel por 7, entao o numero dado eh divisivel por 7. Caso
ainda haja duvida se a soma eh divisivel
ou nao por 7, repete-se o processo:
1 4
0
2 3 1
2 12 0
A
soma (2 + 12 + 0) vale 14. E se ainda restar duvida, aplica-se mais uma
vez:
1
4
3
1
3
4
A
soma (4+3) vale 7, e, portanto, o numero original eh divisivel por 7.
Se
quiserem podem testar o metodo com o seguinte numero, que eh divisivel por 7:
6986648088495576619729344372307579911
O desafio consiste em:
1) Justificar o metodo;
2) Demonstrar que o numero-chave 546231 eh (ou nao)
unico, e, caso nao seja unico:
3) Fornecer outro numero-chave e
4) Mostrar que o numero-chave tem que ser (ou nao) divisivel por 7.
Boa sorte!
Palmerim
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19/12/2006
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