Res: [obm-l] Funcao Zeta como produto infinito sobre os primos

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Sandra,

Dê uma olhada em:

http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html

[]´s Demetrio

----- Mensagem original ----
De: Sandra <sandra-lynn0@excite.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 14 de Dezembro de 2006 17:11:47
Assunto: [obm-l] Funcao Zeta como produto infinito sobre os primos


Oi a todos!

Gostaria de uma dica para completar a demonstração do se seguinte:

Seja Z a função zeta de Riemann. Entao, para todo real s>1, Z(s) pode ser expresso como um produto infinito sobre os primos (positivos), tendo-se que Z(s) = Soma(k >=1) 1/(k^s) = Produto (k >=1) (1 - 1/(p_k^s)), sendo p_k o k-gésimo primo.
Da demosntracao feita, conclua que a serie Soma(k >=1) (1/p_k) diverge.
Na demonstracao, podemos considerar conhecido que o produto infinito Prod(k>=1) (1 - a_k), com a_k > -1 para todo k, converge se e somente se Soma (k >=1) (a_k) converge.

Eu comecei observando que 1 - 1/(p_k)^s = 1 + 1/p_k^s + 1/(p_k^(2s)..., o limite de uma serie serie geometrica absolutamente convergente. Depois, tentei transformar os produtos paciais em somatorios pelo produto de Stevin. Pelo T. fundamental da aritmetica, o inverso de cada natural, elevado a s, vai aparecer uma e somente uma vez. Mas me enrolei no fechamento da demonstracao. Tentei representar os produtos parciais como soma de de inversos de potencias s de naturais em cuja fatoracao so entram primos <= n, n =1,2...so que na hora do fecho me enrolei.

Obrigada
Sandra 

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