[obm-l] Chapeu do Rudin

["Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>]

Ola Prof Nicolau,

Alguns dias atras enviei para a LISTA OBM-L uma mensagem como resposta
a uma questao levantada pelo Niski, mas verifiquei no dia seguinte que
ela nao havia chegado. Reenviei a mensagem. Verifiquei hoje que
nenhuma das duas chegou.

Terminei perdendo a mensagem original. Refiz a mensagem de cabeca e
estou colando-a a seguir. Por favor, disponibiliza-a na lista OBM-L.

Um Abracao !
Feliz Natal
Paulo Santa Rita
2,1713,111206



***



Ola Niski e demais colegas
desta lista ... OBM-L

Usarei raiz_N(P) para representar a "raiz N-esima de P".

O Rudin quer definir o conjunto dos numeros reais como um CORPO
ORDENADO COMPLETO. Como os racionais ja constituem
um CORPO ORDENADO, ele precisa mostrar que tal corpo ordenado nao e
COMPLETO, vale dizer, que existem conjuntos
de racionais limitados superiormente (inferiormente ) que nao admitem
supremo ( infimo ). Para tanto ele utiliza o
conjunto.

A = { p racionais positivos tais que p^2 < 2 }

Esse conjunto e claramente limitado superiormente pois se p >
raiz_2(2) => p^2 > 2 => p nao esta em A. Logo, p esta
em A implica p <= raiz_2(2). O proximo passo e mostrar que este
conjunto nao tem supremo, isto e, nenhum racional
pode ser supremo deste conjunto. Evidentemente que isto implica em
caracterizar os numeros racionais e positivos
X tais que q=p+X e (p+X)^2 < 2. Agora :

p^2 + 2px + x^2 < 2 => x^2 + 2px + p^2 - 2 < 0     (1)

Resolvendo a inequacao (1) acima e facil ver que os X's do nosso
interesse sao tais que :

0 < X < raiZ_2(2) - p  => X < (2 - p^2)/(raiz_2(2) + p )

QUALQUER X racional positivo menor que  (2 - p^2)/(raiz_2(2) + p )
serve. E o que o Rudin faz ao tomar O racional
positivo X = (2 - p^2)/(2 + p). Dai :

q = p + X = p - (p^2 - 2)/(2 + P)

Evidentemente ele poderia ter  tomado, por exemplo, (2 - p^2)/(200 + p
) ou (2 - p^2)/(e + p ) e assim
sucessivamente. Em sintese : O poder discricionario do Rudin e
limitado pelas solucoes positivas da inequacao
definida em (1).

Alem disso, o corte de Dedeking pressupoe a existencia de outro
conjunto, a saber :

B =  { m racionais positivos tais que 2 < m^2 }

Este conjunto e claramente limitado inferiormente pois m < raiz_2(2)
=> m^2 < 2 => m nao esta em B. Logo, m esta em
B implica m >= raiz_2(2). O proximo passo e mostrar que ele nao e
limitado inferiormente, isto e, nenhum racional
pode ser infimo deste conjunto. Evidentemente que isto implica em
caracterizar os numeros racionais e positivos
Y tais que n=m-Y e 2 < (m-Y)^2. Agora :

2 < m^2 - 2mY + Y^2  => Y^2 - 2mY + m^2 - 2 > 0      (2)

Resolvendo a inequacao (2) acima e facil ver que os Y's do nosso
interesse sao tais que :

0 < Y < m - raiz_2(2) ou Y > m + raiz_2(2)
0 < Y < ( m^2 - 2 )/(m + raiz_2(2))  ou  Y > m + raiz_2(2)

E obvio ululante que qualquer X ou Y racional positivo menor que
modulo( (m^2 - 2)/(raiz_2(2) + m ) ) serve para as
duas inequacoes que consideramos ate aqui. Por esta razao o Rudin, em
verdade com pouca margem de discricionariedade,
adota o valor positivo X=Y=modulo( (s^2 - 2)/(s + 2) ). Continuando,
seja agora "s" pertencente a A ou a B :

q = s -  (s^2 - 2)/(s + 2)

Se "s" esta em A, fazemos s=p. Teremos p^2 < 2 e o racional positivo X
= (2 - p^2)/(p + 2) sera somado a 'p" fornecendo
um q = p + X tal que q esta em A; se "s" esta em B, fazemos s=m.
Teremos m^2 > 2 e o numero racional positivo
Y =(m^2 - 2)/(m + 2) sera subtraido de "m" fornecendo um q = m - Y tal
que q esta em B. Se existe algum problema aqui
ele deriva da notacao confusa adotada pelo Rudin : mas o que e
fundamental e que responde a sua duvida e que a
estrategia dele (do Rudin) e facilmente justificavel.

E sempre bom fazermos justica a quem merece. E portanto e em bom tempo
que vamos exerce-la aqui e agora : o "chapeu do
Rudin" e, em verdade, do Dedeking. Foi este matematico que atraves da
teoria do corte  nos ensinou como tratar com
naturalidade os irracionais, definindo-os atraves de um corte.
Portanto, estes raciocinios do Rudin e de todos os
autores posteriores sao inspirados diretamente ou indiretamente na
memoria original deste matematico.

Alias, a leitura do trabalho original do Dedeking e uma boa leitura
que eu recomendo a todos

Cabe tambem destacar que o Rudin so pode usar esta tecnica porque
tratava-se da raiz QUADRADA de um numero
natural. E ilustrativo considerar este problema em outros casos. Por
exemplo : como aplicar o raciocinio do corte
para definir raiz cubica de 5 ?

ALEM DO RUDIN

Por que devemos ficar limitados as tecnicas de exposicao desenvolvidas
por Matematicos Estrangeiros se
podemos nos mesmos desenvolver maneiras criativas de abordar os mesmos
problemas ? Vou apenas comecar,
voce completa o raciocinio.

Seja A = { p racionais positivos tais que p^3 < 5 }

Preciso mostrar que este conjunto nao e limitado superiormente por
nenhum racional, vale dizer, dado "p" pertencente
a A existe "q" tambem pertencente a A ( q^3 < 5 ) tal que p < q. Para
isso procuro caracterizar os numeros racionais
positivos X tais que :

(p + X)^3 < 5  => X^3 + 3p(X^2) + 3X(p^2) < 5 - p^3

Nao tem problema supor 0 < X < 1. Neste caso : X^3 + 3p(X^2) + 3X(p^2)
< X + 3pX + 3(p^2)X. Assim, basta
determinar X, 0< X < 1, tal que :

X + 3pX + 3(p^2)X < 5 - p^3 => X < (5 - p^3)/(1 + 3p + 3(p^2) )    (3)

Qualquer 0 < X < 1 racional positivo que atende a inequacao (3) e tal
que (p + X)^3 < 5. Assim q=p+X e um racional
ainda pertencente ao conjunto A ( q^3 < 5 ) e tal que p < q : A nao e
limitado superiormente por nenhum racional,
como queriamos demonstrar !

Para finalizar verifique que X = { (5 - p^3)/[(1 + P)^3] } < {(5 -
p^3)/(1 + 3p + 3(p^2) )} e que portanto este
valor de X serve para a inequacao (3). Mais ainda. De forma geral,
todo 0 < X < 1 tal que X =< (R - p^N)/[(1+p)^N]
e tal que (p+X)^N < R, onde R e um numero real do qual queremos nos aproximar !


Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,0B1A,111206


>O Rudin, no começo do livro "Principles of Mathematical Analysis" (3rd edition)
>define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 < 2.
>Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q
>tal que p < q.
>Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p > 0 o numero
>
>q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2)
>
>Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca
>seria: "q foi tomado dessa forma pois é o que funciona".
>
>Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra
apresentar esse q ?
>
>Um abraço a todos.
>
>Nisk
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