Res: [obm-l] Um problema

Oi pessoal,

Se eu tenho U_1,U_2,...,U_{k-i} variáveis aleatórias (v.a.) uniformes no intervalo [0,1] e T_1,T_2,...,T_i, v.a. uniformes no intervalo [-1,0] todas independentes, o evento de interesse (chamamos de E) é aquele em que a distancia entre todos os pontos é menor do que 1.

Para isto, basta que a distancia entre o M_1=max_ j \in{1,...,k-i} U_j e M_2=min_j \in{1,...,i} T_j seja menor do que 1. Observe que estas v.a. sao independentes e que

P[M_1<u] = u^(k-i), para 0<u<1.

P[M_2<v] = 1-(1-v)^j, para -1<v<0.

Entao, fazendo uma transformacao simples, temos:

P[E] = \int_0^1 \int_0^{1-u} i.v^{i-1} . (k-i) . u^{k-i-1} dvdu.

Fazendo um pouco de contas, finalmente, chega-se que

P[E] = \sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},

Que é o que eu pedi para voces. Curiosamente tem uma forma fechada bonitinha. Nao conheco nenhum argumento combinatorio para a resolucao do problema, mas com um pouco de imaginacao acho que seja possivel obter.

Muito obrigado,

Paulo

----- Mensagem original ----
De: Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2006 10:31:22
Assunto: RE: [obm-l] Um problema

Sauda,c~oes,

Oi Ph,

O resultado vale para i=0 (a soma é igual a 1).
Vamos então considerar k>i>0.

Usando o resultado
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^n = 0 (i>0)
o resultado a provar é
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+k-i} .

Vou mudar a notação para uma mais padrão
e provar que

S_n(m) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k+1} \frac{k}{k+m-n} =
= \frac{1} {\binom{m}{n}} (m>n>0).

S_n(m)=\sum_{k\geq0} n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}
pois \binom{n}{k}=\frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.

S_n(m)=\sum_{k\geq0} t_k, onde
t_k = n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}.

Então t_0=\frac{n}{m+1-n} e \frac{t_{k+1}}{t_k}=
=\frac {(k+m+1-n)(k-n+1)}{(k+m+2-n)(k+1)} .

Um resultado devido a Gauss (séries hipergeométricas)
diz que S_n(m) = t_0 \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}
{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}

com a=m+1-n ; b=-n+1 ; c=m+2-n .

Sabendo que \Gamma(p+1)=p! (p inteiro) e fazendo as
contas, vem:

S_n(m) = \frac{n}{m+1-n} \frac{(m+1-n)!(n-1)!}{m!} =
=\frac{n!(m-n)!}{m!}=\frac{1}{\binom{m}{n}}, (m>n\geq0) \qed

Qual a interpretação combinatória do resultado (o Claudio iria
certamente perguntar)?

[]'s
Luís

>From: Paulo Henrique Souza Lima <pauloh_lima@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm lista <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Um problema
>Date: Wed, 6 Dec 2006 08:15:35 -0800 (PST)
>
>Oi pessoal,
>
>Um problema:
>Prove que
>
>\sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},
>
>para k>i.
>
>Este problema surgiu dentro de um problema de probabilidade. Algumas contas
>no computador sugerem que resultado está certo.
>
>Obrigado,
>Paulo

_________________________________________________________________
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================