Re:[obm-l] o chapeu de Rudin.

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Niski:

O objetivo eh achar x > 0 pequeno o suficiente para que:
(p+x)^2 < 2 <==> p^2 + 2px + x^2 < 2.
Se p < 1, basta tomar x = 1-p.
Se p >= 1, entao x tem que ser necessariamente < 1.
Nesse caso, x^2 < x e, portanto, eh suficiente que tenhamos:
p^2 + 2px + x < 2 <==> x < (2 - p^2)/(2p + 1).
Como p >= 1, p+2 <= 2p+1 e, portanto, x < (2 - p^2)/(p + 2).
Assim, tomando x < min{1, (p^2-p)/(p+2)}, teremos:
(p+x)^2 < (p + (2-p^2)/(p+2))^2 = 2(p+1)/(p+2) < 2.
  
Alias, nao sei se essa ideia eh original do Rudin pois jah vi este tipo de argumento em varios outros livros, inclusive num do Elon.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 6 Dec 2006 19:19:50 -0200
Assunto: [obm-l] o chapeu de Rudin.

> O Rudin, no começo do livro "Principles of Mathematical Analysis" (3rd edition)
> define A como sendo o conjunto dos racionais positivos p tais que p^2 < 2.
> Depois ele diz que para cada p em A, ele consegue achar um racional q
> tal que p < q.
> Para isso ele diz que pode associar, para cada racional p > 0 o numero
> 
> q = p - ((p^2 - 2)/(p + 2)) = (2p + 2)/(p+2)
> 
> Isso me pareceu meio que tirado do chapeu. Uma explicacao mixuruca
> seria: "q foi tomado dessa forma pois é o que funciona".
> 
> Alguem tem alguma idéia de como o Rudin pode ter pensado pra apresentar esse q ?
> 
> Um abraço a todos.
> 
> Niski
> 
>


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