Funcao Periodica Era:[obm-l] Ajuda!!

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 1 Dec 2006 10:45:45 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Ajuda!!

> Seja f uma função real cujo módulo é sempre menor ou igual a 1.
> Sabendo que f(x+13/42) + f(x) = f(x+1/6) + f(x+1/7) para todo x, mostre que f é uma função periódica. 
>    
>   Desde já agradeço a todos que colaborarem com alguma solução! Abraço a todos!
> 

Pra simplificar vou por a = 1/42.
Entao, a equacao fica: f(x+13a) + f(x) = f(x+7a) + f(x+6a).

Usando a equacao acima, eh facil ver que as funcoes u, v:R -> R dadas por: 
u(x) = f(x+7a) - f(x)   e   v(x) = f(x+6a) - f(x) 
sao periodicas, com periodos 6a e 7a, respectivamente (estes nao sao necessariamente os periodos fundamentais destas funcoes).

u(x) + u(x+a) + ... + u(x+5a) =
f(x+7a) - f(x) + f(x+8a) - f(x+a) + ... + f(x+12a) - f(x+5a) =
f(x+6a) - f(x) + f(x+7a) - f(x+a) + ... + f(x+12a) - f(x+6a) =
v(x) + v(x+a) + ... + v(x+6a).

u(x), u(x+a), ..., u(x+5a) sao periodicas de periodo 6a;
v(x), v(x+a), ..., v(x+6a) sao periodicas de periodo 7a ==>

u(x) + u(x+a) + ... + u(x+5a) eh periodica de periodo 6a;
v(x) + v(x+a) + ... + v(x+6a) eh periodica de periodo 7a ==>

u e v sao periodicas de periodos 6a e 7a ==>

u e v sao periodicas de periodo a ==>
(o periodo fundamental de u divide 6a e 7a e, portanto, divide 7a - 6a; idem para v)
(obs: a nao eh necessariamente o periodo fundamental de u ou de v)

u(x) = u(x-a) ==> f(x+7a) - f(x) = f(x+6a) - f(x-a)
v(x+a) = v(x) ==> f(x+7a) - f(x+a) = f(x+6a) - f(x)
Subtraindo, obtemos:
f(x+a) - f(x) = f(x) - f(x-a), para todo x.

Suponhamos que, para todo x, f(x+a) - f(x) = k <> 0
Entao, tomando n = 2/|k| + 1, teremos:
f(x+a) - f(x) = k
f(x+2a) - f(x+a) = k
...
f(x+na) - f(x+(n-1)a) = k.

Somando estas n equacoes e, em seguida, tomando modulos, obtemos:
|f(x+na) - f(x)| = |nk| = n|k| = 2 + |k| > 2 ==>
contradicao, pois, por hipotese, |f(x)| <= 1 para todo x ==>
k = 0 ==>
f(x+a) = f(x), para todo x ==>
f eh constante ou f eh periodica de periodo a (o periodo fundamental de f divide a, mas nao eh necessariamente igual a a)
 
***

Problema: Retire a hipotese de f ser limitada. Quais as possibilidades para f neste caso?

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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