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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06



Oi Ponce!
 
Valeu pela solução, mas vc acha que a Facamp tava querendo isso? Não é demais pros vestibulandos?
 
Abraços e até dia 8/12...
 
Raul
----- Original Message -----
From: lponce
To: obm-l
Sent: Thursday, November 23, 2006 10:28 PM
Subject: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06

Olá Raul,
Vaai abaixo  uma sugestão:
Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0.
Das relações de Girard (ou viete).  x1+x2+....x100  = 600.
Do teorema da decomposição,  p(x) = (x-x1)(x-x2)......(x-x100).Portanto,
p(7) = (7-x1)(7-x2)......(7-x100).
Nestas condições, provemos que:  
se P(7)> 1, então existe ao menos uma raiz xi   maior que 7.
demonstraçãoRedução ao absurdo)
 
Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100)
seja maior que 7. Assim, 7- xi > 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever:
  [ (7-x1) + (7-x2) + ....+ (7-x100) ] /100 >= [ f(7) ] ^ (1/100)
dai,  [  (700 - 600)/100   ] ^100  > = f(7), isto é,  f(7) < = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) > 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque  7 - x k < =0,  como  xk é diferente de 7,pois p(7)>1,  conclui-se que xk > 7,  finalizando a demonstração pedida.
 
Um abraço
do amigo  PONCE
desculpe-me por qualquer engano  ..
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200
Assunto: [Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
>     Boa tarde!
>  
>     Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e  possua 100 raízes reais e que p(7)>1.
>     Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7.
>  
>     Agradeço a ajuda,
>  
>         Raul


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[]a, L.PONCE.


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